Напомним, что через $\Pi(x)$ мы обозначаем угол параллельности для точки,
находящейся на расстоянии $x$ от данной прямой. Как уже отмечалось, случай
$\Pi(x)=\dfrac\pi2$ отвечает евклидовой геометрии, а случай
$\Pi(x)\lt\dfrac\pi2$ — геометрии Лобачевского. Сразу же возникает вопрос:
возможна ли смешанная ситуация, т. е. может ли быть так, что равенство
выполнено для некоторых, но не для всех значений расстояния $x$?
Оказывается, такая ситуация невозможна. Доказательство этого утверждения,
предложенное Лобачевским, весьма поучительно. Приведём его основные идеи без технических подробностей. Сначала Лобачевский показывает, что если
равенство $\Pi(x)=\dfrac\pi2$ выполнено хотя бы для одного значения $x\gt0$,
то найдётся хотя бы один прямоугольный треугольник с суммой углов $\pi$. Из двух экземпляров такого прямоугольного треугольника составим
прямоугольник, т. е. четырёхугольник, в котором противоположные
стороны попарно равны, а все углы прямые. Такими прямоугольниками,
приставляя их друг к другу по сторонам, замостим всю плоскость. Теперь
измельчим полученное разбиение, разбив каждый прямоугольник на четыре
прямоугольника с вдвое меньшими сторонами. Повторяя эту операцию, получим
всё более мелкие разбиения плоскости на прямоугольники. Ключевая идея
доказательства состоит в том, что такая последовательность разбиений
позволяет ввести декартовы координаты на плоскости. Действительно, если
плоскость разбита на прямоугольники размера $a\times b$, то для каждой точки
можно определить её $x$- и $y$-координаты с ошибками не больше $a$ и $b$
соответственно, просто посмотрев на то, в каком из прямоугольников разбиения
лежит эта точка. Переходя к всё более мелким разбиениям, мы сможем
определить координаты точки сколь угодно точно. После введения декартовой
системы координат V постулат легко доказывается аналитически. Значит,
мы получаем евклидову геометрию и, следовательно, равенство
$\Pi(x)=\dfrac\pi2$ для всех $x$.
Таким образом, если V постулат неверен, то сумма углов любого
треугольника строго меньше $\pi$ и $\Pi(x)\lt\dfrac\pi2$ для всех $x\gt0$.
Далее Лобачевский доказывает следующие свойства функции $\Pi(x)$:
функция $\Pi(x)$ строго убывает на интервале $(0;+\infty)$;
$\Pi(x)$ стремится к $\dfrac\pi2$ при $x\to0$ и $\Pi(x)$ стремится к нулю при $x\to+\infty$;
функция $\Pi(x)$ принимает все промежуточные значения на интервале
$\left(0;\dfrac\pi2\right)$.
Мы не будем приводить доказательства этих свойств, но приведём
доказательство следующего утверждения, дающего первые точные формулы,
содержащие функцию $\Pi(x)$. Для удобства формулировок удобно продолжить
функцию $\Pi(x)$ до строго монотонно убывающей функции на всей вещественной
прямой, положив $\Pi(0)=\dfrac\pi2$ и $\Pi(-x)=\pi-\Pi(x)$.
Лемма 1.Пусть $a$ и $b$ — длины катетов
прямоугольного треугольника на плоскости Лобачевского, $c$ — длина его гипотенузы, $\alpha$ и $\beta$ — величины углов этого треугольника,
противолежащих катетам $a$ и $b$ соответственно. Тогда
$$
\begin{gather*}
\Pi(a)=\Pi(c+p)+\beta,\tag8\\
\Pi(a)=\Pi(c-p)-\beta,\tag9
\end{gather*}
$$
где $p$ — такая величина, для которой $\Pi(p)=\alpha$.
Доказательство. Пусть $ABC$ — рассматриваемый
треугольник с прямым углом $C$ и катетами $a=BC$ и $b=AC$. Отложим отрезок
$AD$ длины $p$ на продолжении стороны $AB$ за точку $A$ (рис. 4). Пусть
$AA'$ — луч, являющийся продолжением стороны $AC$ за точку $A$. Проведём
через точку $D$ перпендикуляр $DD'$ к прямой $AB$, смотрящий в ту же сторону
относительно прямой $AB$, что и луч $AA'$. Так как $AD=p$ и $\angle DAA'=\alpha=\Pi(p)$, то из определения угла параллельности следует,
что лучи $AA'$ и $DD'$ параллельны. Проведём через точку $B$ луч $BB'$,
параллельный лучам $AA'$ и $DD'$. Тогда из того, что луч $BB'$ параллелен
лучу $AA'$, следует, что $\angle CBB'=\Pi(a)$, а из того, что луч $BB'$
параллелен лучу $DD'$, следует, что $\angle DBB'=\Pi(c+p)$. Теперь paвенство
$\angle CBB'=\angle DBB'+\beta$ превращается в требуемое равенство (8).
Рис. 4. К доказательству леммы 1
Чтобы доказать равенство (9), нужно отложить отрезок $AE=p$ в другую
сторону от точки $A$ (т. е. на луче $AB$) и заменить в приведённом выше
рассуждении точку $D$ на точку $E$; подробности мы оставляем читателю. Лемма
доказана.
В дальнейшем нам понадобятся такие следствия формул (8) и (9):
$$
\begin{gather*}
\Pi(a)=\dfrac12(\Pi(c+p)+\Pi(c-p)),\tag{10}\\
\beta=\dfrac12(\Pi(c-p)-\Pi(c+p)).\tag{11}
\end{gather*}
$$
Орициклы и орисферы
Рассмотрим прямую $l$ на плоскости и точку $A$ на ней. Для удобства
расположим прямую $l$ горизонтально, как на рисунке 5. Рассмотрим
всевозможные окружности, лежащие выше прямой $l$ и касающиеся её в точке
$A$. Для каждого $r\gt0$ имеется ровно одна такая окружность радиуса $r$, а именно окружность $\omega_r$, центр которой $O_r$ лежит на луче $AA'$
(перпендикулярном $l$ и направленном вверх) на расстоянии $r$ от точки $A$.
Верно ли, что через каждую точку верхней полуплоскости (исключая точки самой
прямой $l$) проходит одна из окружностей $\omega_r$? На евклидовой плоскости
— несомненно, да. А на плоскости Лобачевского? Одной из противоречащих нашей
интуиции особенностей геометрии Лобачевского является то, что в этом случае
ответ будет отрицательным. А именно, в верхней полуплоскости найдётся кривая
$\eta$, касающаяся прямой $l$ в точке $A$, такая, что объединение всех
окружностей $\omega_r$ есть в точности множество всех точек, лежащих выше
$\eta$. Лобачевский называл кривую $\eta$ предельной линией. Мы будем придерживаться современной терминологии и называть её орициклом.
Рис. 5. Орицикл
Орицикл $\eta$ — это кривая, к которой окружность $\omega_r$ стремится
при стремлении радиуса $r$ к бесконечности. Неформально говоря, орицикл —
это «окружность бесконечного радиуса». Каждая из окружностей $\omega_r$
пересекает под прямым углом все лучи, исходящие из её центра $O_r$.
Правильным образом переходя к пределу в этом утверждении, можно показать,
что орицикл $\eta$ пересекает под прямым углом все лучи, параллельные лучу
$AA'$. Именно из этого свойства следует, что $\eta$ не может совпадать с прямой $l$. Действительно, если бы это совпадение имело место, то прямая $l$
пересекала бы все прямые, параллельные $AA'$, под прямым углом, откуда
следовало бы, что $\Pi(x)=\dfrac\pi2$ для всех $x$ и, значит, геометрия
евклидова.
Аналогичное построение можно провести и в пространстве Лобачевского.
Переход от планиметрии к стереометрии в неевклидовом случае производится
точно так же, как в евклидовом. А именно, в пространстве Лобачевского нужно
принять те же стандартные аксиомы, касающиеся взаимного расположения прямых
и плоскостей (кроме аксиомы параллельности), и потребовать, чтобы в каждой
плоскости выполнялись все аксиомы планиметрии Лобачевского. Кроме того,
нужно потребовать, чтобы все плоскости в пространстве были устроены
одинаково, т. е. любую из них можно было наложить на любую другую. Из этого последнего свойства, в частности, следует, что функции угла
параллельности $\Pi(x)$ должны быть одинаковыми для всех плоскостей в пространстве.
В пространстве вместо прямой $l$ нужно взять плоскость $\lambda$ и рассмотреть всевозможные сферы $\Omega_r$, расположенные в верхнем
полупространстве относительно плоскости $\lambda$ и касающиеся этой
плоскости в некоторой фиксированной точке $A$. Тогда при стремлении радиуса
$r$ к бесконечности сфера $\Omega_r$ будет приближаться к предельной
поверхности $\Upsilon$, которая называется орисферой (рис. 6).
Восставим в точке $A$ направленный вверх перпендикуляр $AA'$ к плоскости
$\lambda$. Тогда орисфера $\Upsilon$ будет пересекать под прямыми углами все прямые, параллельные лучу $AA'$. Следуя Лобачевскому, назовём каждую из таких прямых осью орисферы $\Upsilon$. Это название имеет следующий
смысл. Всякая плоскость $\mu$, проходящая через какую-либо ось $m$ орисферы
$\Upsilon$, будет пересекать эту орисферу по некоторому орициклу $\eta$. При этом орисфера $\Upsilon$ может быть получена в результате вращения орицикла
$\eta$ вокруг оси $m$.
Рис. 6. Орисфера
Следующее наблюдение Лобачевского имеет фундаментальное значение для всего последующего развития неевклидовой геометрии. Рассмотрим «внутреннюю
геометрию» орисферы $\Upsilon$, объявив «прямыми» на ней всевозможные
орициклы $\eta$, являющиеся её сечениями плоскостями, проходящими через её оси; при этом расстояния между точками на $\Upsilon$ тоже должны измеряться
вдоль таких орициклов. Лобачевский показал, что для внутренней геометрии на орисфере выполнены все аксиомы Евклида, включая V постулат!
Это даёт удивительный факт: на орисферах в пространстве Лобачевского
реализуется геометрия обычной евклидовой плоскости.
Ещё одно важное наблюдение Лобачевского состоит в том, что внутренняя
геометрия на любой сфере в пространстве Лобачевского такая же, как внутренняя геометрия на сфере некоторого другого радиуса в евклидовом
пространстве. Неформальное объяснение этого факта состоит в том, что длина
дуги большого круга на сфере как в евклидовом пространстве, так и в пространстве Лобачевского пропорциональна углу, под которым мы видим эту дугу из центра сферы. При этом в евклидовом пространстве коэффициент
пропорциональности равен радиусу сферы, а в пространстве Лобачевского — нет.
Поэтому нам будет удобно характеризовать сферу не радиусом, а длиной
экватора. Тогда внутренняя геометрия сферы в пространстве Лобачевского
устроена в точности так же, как внутренняя геометрия сферы с той же длиной
экватора в евклидовом пространстве. В частности, внутренняя геометрия сферы
в пространстве Лобачевского с длиной экватора $2\pi$ устроена так же, как внутренняя геометрия сферы единичного радиуса в евклидовом пространстве.
Выход в пространство
Вывод формулы для функции $\Pi(x)$ и доказательство аналога теоремы
Пифагора для неевклидовой плоскости были проведены Лобачевским при помощи
удивительно красивого геометрического построения. Замечательно, что это построение происходит в пространстве, хотя исходная задача плоская! Ключевым
утверждением, составляющим основу доказательства Лобачевского, является
следующая лемма.
Лемма 2.Пусть на плоскости Лобачевского имеется
прямоугольный треугольник $T$ с гипотенузой $c$, катетами $a$ и $b$ и противолежащими им острыми углами $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Тогда
на сфере с длиной экватора $2\pi$ найдётся сферический прямоугольный
треугольник $T'$ с гипотенузой $\Pi(a)$, катетами $\Pi(c)$ и $\beta$ и противолежащими им острыми углами $\Pi(b)$ и $\dfrac\pi2-\alpha$
соответственно (рис. 7).
Рис. 7. Треугольники $T$ и $T^\prime$
Доказательство. Пусть $ABC$ — данный прямоугольный
треугольник $T$ с катетами $a=BC$ и $b=AC$ и гипотенузой $c=AB$. В точке $A$
восставим перпендикуляр $AA'$ к плоскости $ABC$. В плоскости $AA'B$ проведём
луч $BB'$, параллельный лучу $AA'$, а в плоскости $AA'C$ – луч $CC'$,
параллельный лучу $AA'$ (рис. 8). Тогда лучи $BB'$ и $CC'$ лежат в одной плоскости и параллельны друг другу (подумайте, почему). (Отметим, что так как геометрия неевклидова, то лучи $BB'$ и $CC'$ не будут
перпендикулярны плоскости $ABC$.) Теперь рассмотрим трёхгранный угол $BCB'A$
с вершиной $B$ и рёбрами $BC$, $BB'$ и $BA$. Пересечём его со сферой
$\Omega$ с центром в $B$ и длиной экватора $2\pi$. Докажем, что получившийся
в пересечении сферический треугольник $KLM$ — это и есть искомый треугольник
$T'$. Для этого нам нужно вычислить длины сторон и углы этого сферического
треугольника. Так как сфера $\Omega$ имеет длину экватора $2\pi$, то длины
дуг $KL$, $LM$ и $KM$ равны углам $CBB'$, $ABB'$ и углу $ABC$, равному
$\beta$, соответственно. Кроме того, углы $K$, $L$ и $M$ сферического
треугольника $KLM$ равны двугранным углам трёхгранного угла $BCB'A$ при рёбрах $BC$, $BB'$ и $BA$ соответственно. Таким образом, нам нужно доказать,
что $\angle CBB'=\Pi(a)$, $\angle ABB'=\Pi(c)$ и двугранные углы
трёхгранного угла $BCB'A$ при рёбрах $BC$, $BB'$ и $BA$ равны $\Pi(b)$,
$\dfrac\pi2-\alpha$ и $\dfrac\pi2$ соответственно. Докажем это.
Рис. 8. К доказательству леммы 2
Так как $AA'\perp AB$ и $AA'\perp AC$, то из определения угла
параллельности сразу следует, что $\angle ABB'=\Pi(c)$ и $\angle ACC'=\Pi(b)$. Плоскости $AA'BB'$ и $AA'CC'$ проходят через прямую
$AA'$, перпендикулярную плоскости $ABC$, поэтому они сами перпендикулярны
плоскости $ABC$. Из перпендикулярности плоскостей $AA'BB'$ и $ABC$ следует,
что двугранный угол трёхгранного угла $BCB'A$ при ребре $BA$ прямой. А из перпендикулярности плоскостей $AA'CC'$ и $ABC$ следует, что отрезок $BC$
перпендикулярен плоскости $AA'CC'$. Отсюда мы, во-первых, получаем, что двугранный угол трёхгранного угла $BCB'A$ при ребре $BC$ равен
$\angle ACC'=\Pi(b)$, а во-вторых, что $CC'\perp BC$. Воспользовавшись ещё раз определением угла параллельности, видим, что $\angle CBB'=\Pi(a)$.
Нам осталось показать, что двугранный угол трёхгранного угла $BCB'A$ при ребре $BB'$, т. е. двугранный угол между плоскостями $AA'BB'$ и $BB'CC'$, равен $\dfrac\pi2-\alpha$. Это самое интересное! Обозначим
интересующий нас двугранный угол между плоскостями $AA'BB'$ и $BB'CC'$ через
$\phi$. Отметим, что двугранный угол между плоскостями $AA'BB'$ и $AA'CC'$
равен $\alpha$, a двугранный угол между плоскостями $AA'CC'$ и $BB'CC'$
прямой (так как мы уже доказали, что отрезок $BC$ перпендикулярен плоскости
$AA'CC'$). Теперь рассмотрим орисферу $\Upsilon$, касающуюся плоскости $ABC$
в точке $A$, и обозначим через $B''$ и $C''$ точки пересечения этой орисферы
с лучами $BB'$ и $CC'$ соответственно. Так как лучи $AA'$, $BB'$ и $CC'$
параллельны друг другу, то они все являются осями орисферы $\Upsilon$,
т. е. перпендикулярны ей в точках пересечения. Значит, дуги $AB''$,
$В''C''$ и $AC''$, по которым орисферу $\Upsilon$ пересекают плоскости
$AA'BB'$, $BB'CC'$ и $AA'CC'$, являются орициклами. Кроме того, углы
орисферического треугольника $AB''C''$ равны соответствующим попарным
двугранным углам между плоскостями $AA'BB'$, $BB'CC'$ и $AA'CC'$, т. е.
орисферический треугольник $AB''C''$ прямоугольный с острыми углами при вершинах $A$ и $B''$, равными $\alpha$ и $\phi$ соответственно. Теперь нам осталось воспользоваться тем, что внутренняя геометрия нa орисфере $\Upsilon$
евклидова. Значит, $\alpha+\phi=\dfrac\pi2$, т. е.
$\phi=\dfrac\pi2-\alpha$, что и требовалось доказать.
Построенный прямоугольный треугольник $T'$ расположен на сфере с длиной
экватора $2\pi$, которая устроена точно так же, как сфера единичного радиуса
в обычном евклидовом пространстве. Поэтому для треугольника $T'$ выполнены
стандартные формулы сферической тригонометрии (5)—(7) при $R=1$. Выпишем их:
$$
\begin{gather*}
\cos\Pi(a)=\cos\Pi(c)\cos\beta,\tag{12}\\
\sin\Pi(c)=\sin\Pi(a)\sin\Pi(b),\tag{13}\\
\sin\beta=\sin\Pi(a)\cos\alpha.\tag{14}
\end{gather*}
$$
Доказательства теорем 1 и 2
Для того чтобы вывести формулы (1)—(4) из лемм 1 и 2, уже не нужно
никаких геометрических построений, достаточно сделать алгебраические
выкладки.
Рассмотрим на плоскости Лобачевского прямоугольный треугольник $T$ с гипотенузой $c$, катетами $a$ и $b$ и противолежащими им углами $\alpha$ и $\beta$. Так же, как в лемме 1, обозначим через $p$ такую величину, для которой $\Pi(p)=\alpha$. Подставив выражения (10) и (11) в формулу (12),
получим
$$
\cos\Pi(c)=\dfrac{\cos\dfrac12(\Pi(c+p)+\Pi(c-p))}{\cos\dfrac12(\Pi(c+p)-\Pi(c-p))}.
$$
При помощи стандартных тригонометрических формул это равенство легко
переписать в виде
$$
\tg^2\dfrac{\Pi(c)}2=\tg\dfrac{\Pi(c+p)}2\tg\dfrac{\Pi(c-p)}2.\tag{15}
$$
Для любых $c\gt0$ и $\alpha\in\left(0;\dfrac\pi2\right)$ найдётся
прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$.
Рассматривая всевозможные прямоугольные треугольники, получаем, что равенство (15) имеет место для любых положительных чисел $c$ и $p$. Более
того, вспоминая, что функция $\Pi(x)$ была продолжена на отрицательные
значения переменной $x$ при помощи формулы $\Pi(-x)=\pi-\Pi(x)$, легко
прийти к выводу, что равенство (15) имеет место для любых вещественных
чисел $c$ и $p$. Переобозначив для удобства $c$ и $p$ через $x$ и $y$,
мы получим функциональное уравнение для функции $\Pi(x)$:
$$
\tg^2\dfrac{\Pi(x)}2=\tg\dfrac{\Pi(x+y)}2\tg\dfrac{\Pi(x-y)}2.\tag{16}
$$
Теперь рассмотрим функцию
$$
f(x)=-{\ln\tg\dfrac{\Pi(x)}2}.
$$
Так как функция $\Pi(x)$ монотонно убывает на всей вещественной оси и принимает значения на интервале $(0;\pi)$, то функция $f(x)$ определена и монотонно возрастает на всей вещественной оси. Кроме того, $f(0)=0$.
Функциональное уравнение (16) запишется в виде
$$
2f(x)=f(x+y)+f(x-y).\tag{17}
$$
Следующий шаг мы оставим в качестве задачи для читателей; эта задача часто
разбирается на математических кружках как одна из первых задач по функциональным уравнениям.
Задача.Докажите, что если функция $f(x)$
определена, строго возрастает на всей вещественной прямой и удовлетворяет
функциональному уравнению $(17)$ (т. е. равенство $(17)$ выполнено при всех $x$ и $y$), то эта функция линейна, т. е. $f(x)=kx+q$ для некоторых $k\gt0$ и $q$.
В нашем случае мы дополнительно знаем, что $f(0)=0$, поэтому $q=0$.
Обозначив коэффициент $k$ через $\dfrac1R$, мы получим, что $f(x)=\dfrac xR$, а значит,
$$
\tg\dfrac{\Pi(x)}2=e^{-\frac{\scriptstyle x}{\scriptstyle R}},\tag{18}
$$
откуда сразу следует искомая формула
$\Pi(x)=2\arctg\left(e^{-\frac{\scriptstyle x}{\scriptstyle R}}\right)$.
Кроме того, при помощи формул универсальной подстановки из (18) легко
получить, что $$
\cos\Pi(x)=\dfrac{\sh\dfrac xR}{\ch\dfrac xR},\quad
\sin\Pi(x)=\dfrac1{\ch\dfrac xR}.
$$
Подставляя эти выражения в равенства (12)—(14), а также в равенства,
получаемые из них одновременной заменой $a\leftrightarrow b$ и $\alpha\leftrightarrow\beta$, можно получить требуемые формулы (2)—(4) из теоремы 2. Подробности мы оставляем читателю.
Модели геометрии Лобачевского
Идеи и результаты Лобачевского не получили признания при его жизни. Из современников их по-настоящему оценил только Гаусс, но он последовательно
придерживался принципа осторожного молчания во всём, что касалось
неевклидовой геометрии, в частности, не публиковал работ и не высказывался
публично по этой теме.
Дальнейшее развитие геометрии Лобачевского началось только после
построения её моделей. Слово «модель» означает следующее: какие-либо объекты
обычной (евклидовой) геометрии называются «точками» и «прямыми» плоскости
(или пространства) Лобачевского, указывается, как именно вычисляются
«расстояния» и «углы» между такими «точками» и «прямыми», после чего
проверяется, что для введённых объектов выполняются все аксиомы Евклида,
кроме V постулата, а он не выполнен — таким образом, получается
«реализация» геометрии Лобачевского методами обычной евклидовой геометрии.
Сам Лобачевский не построил ни одной модели своей геометрии. Тем удивительнее тот факт, что он решил обратную задачу: построил модель
евклидовой плоскости методами своей неевклидовой геометрии! Этот результат
мы уже обсуждали: такой моделью служит внутренняя геометрия на орисфере в пространстве Лобачевского.
Ключевая роль в признании геометрии Лобачевского и построении её моделей
принадлежит замечательному итальянскому геометру Эудженио Бельтрами
(1835—1900). Надо сказать, что его роль часто недооценивают. В двух своих
работах, вышедших в 1868 году, Бельтрами не просто построил первую
модель геометрии Лобачевского, а построил сразу все основные её модели.
Перечислим их кратко.
Рис. 9. Модели геометрии Лобачевского
1. Проективная модель. В этой модели «точками» плоскости
Лобачевского являются точки обычной плоскости, лежащие строго внутри
единичного круга $x^2+y^2\lt1$ (рис. 9, слева), а «прямыми» — хорды
этого круга (при этом концы не включаются в хорду). «Прямые» параллельны,
если соответствующие хорды имеют общий конец, и являются расходящимися, если
хорды не имеют ни общих внутренних точек, ни общих концов. Название
«проективная» связано с тем, что в этой модели движения плоскости
Лобачевского — это в точности проективные преобразования обычной евклидовой
плоскости, переводящие в себя окружность $x^2+y^2=1$. Через несколько лет после работ Бельтрами проективная модель была переоткрыта выдающимся
немецким математиком Феликсом Клейном (1849—1925) с использованием
конструкции ещё одного замечательного геометра — Артура Кэли (1821—1895).
Поэтому проективную модель часто называют моделью Кэли—Клейна или моделью Бельтрами—Клейна; подробнее о ней можно прочесть в статье
А. Ширшова
«Модель Кэли—Клейна геометрии Лобачевского» («Квант», 1976, №3).
2. Конформные модели в круге и в полуплоскости. В конформной
модели в круге «точки» такие же, как в проективной модели, но «прямые»
другие, а именно, «прямыми» являются дуги обычных евклидовых окружностей,
перпендикулярных абсолюту — единичной окружности $x^2+y^2=1$, а также
диаметры этой окружности (рис. 9, посередине). Эта модель замечательна
в том числе тем, что в ней хорошо видны окружности на плоскости Лобачевского
— ими служат обычные евклидовы окружности, полностью лежащие внутри круга
$x^2+y^2\lt1$, и орициклы — ими служат евклидовы окружности, касающиеся
абсолюта изнутри. Название «конформная» связано с тем, что в этой модели
движения плоскости Лобачевского — это в точности преобразования круга
$x^2+y^2\lt1$, сохраняющие обычные евклидовы углы между кривыми; такие
преобразования называются конформными (от латинского conformis —
«подобный»).
В конформной модели в полуплоскости «точками» являются все точки верхней
полуплоскости $y\gt0$ (рис. 9, справа), a «прямыми» — вертикальные лучи
и полуокружности с диаметрами на абсолюте (в этом случае абсолютом
называется граничная прямая $y=0$; она не входит в модель). В дальнейшем
конформные модели геометрии Лобачевского изучались выдающимся французским
учёным Анри Пуанкаре (1854—1912). В настоящее время они как правило
называются моделями Пуанкаре в круге и в полуплоскости; подробнее о них можно прочесть в статье
С. Гиндикина
«Волшебный мир Анри Пуанкаре» («Квант», 1976, №3).
3. Модель на гиперболоиде. В этой модели «точками» плоскости
Лобачевского являются точки верхней половины двуполостного гиперболоида $Q$,
который в обычных евклидовых координатах в пространстве задаётся уравнением
$x^2+y^2-z^2=-1$, а «прямыми» — половины гипербол, являющихся сечениями
этого гиперболоида плоскостями, проходящими через начало координат.
«Расстояние» $\rho$ между двумя точками $(x_1,y_1,z_1$) и $(x_2,y_2,z_2)$ в этой модели определяется из равенства
$$
\ch\rho=z_1z_2-x_1x_2-y_1y_2.\tag{19}
$$
Эта модель замечательна тем, что она тесно связана со специальной теорией
относительности (СТО). А именно, переименуем вертикальную ось и вместо
переменной $z$ будем откладывать по ней время $t$, умноженное на скорость
света $c$. Тогда о пространстве с координатами $(x,y,ct)$ можно думать как о трёхмерном пространстве-времени для частиц, движущихся в плоскости с координатами $x$, $y$. (Настоящее пространство-время четырёхмерно, так как пространственных координат три, а не две, поэтому оно связано с моделью
пространства, а не плоскости Лобачевского.) Одним из ключевых понятий СТО является понятие интервала между двумя событиями; по определению он равен $c^2(\Delta t)^2-(\Delta\overrightarrow r)^2$, где $\Delta t$ —
промежуток времени между событиями, а $\Delta\overrightarrow r$ — вектор
между точками событий в пространстве. Наш гиперболоид $Q$ состоит в точности
из всех событий, имеющих интервал 1 с фиксированным событием, отвечающим
началу координат. Это наблюдение имеет фундаментальное значение и приводит к тому, что движения плоскости (или пространства) Лобачевского записываются в координатах в точности теми же формулами, что и преобразования
Лоренца — преобразования координат и времени при переходе от одной
инерциальной системы отсчёта к другой. Что ещё более важно — сложение
скоростей в СТО происходит по законам геометрии Лобачевского. Благодаря этому расчёты столкновений элементарных частиц в ускорителях производятся при помощи тригонометрических формул геометрии
Лобачевского.
Подробнее о связи геометрии Лобачевского с теорией относительности можно
прочесть в статье
Я. Смородинского
«Лобачевский и физика» («Квант», 1976, №2) и в книге
В. Н. Дубровского, Я. А. Смородинского и Е. Л. Суркова «Релятивистский мир» (Библиотечка «Квант»,
вып. 34).
4. Модели на поверхностях постоянной отрицательной кривизны.
Если $S$ — поверхность в обычном евклидовом пространстве, то можно изучать
внутреннюю геометрию на $S$. Это означает, что мы рассматриваем в качестве расстояния между двумя точками на $S$ длину кратчайшей кривой,
идущей по поверхности $S$ и соединяющей эти точки, а сами такие кратчайшие
кривые называем геодезическими и рассматриваем как аналоги прямых
линий. Очень важный класс поверхностей составляют
поверхности постоянной гауссовой кривизны. Мы не будем определять,
что такое гауссова кривизна; заинтересовавшегося читателя отсылаем к двум
статьям с одинаковым названием «О кривизне», написанным
С. Табачниковым
(«Квант», 1989, №5) и Н. Виленкиным
(«Квант», 1992, №4). Изучение поверхностей постоянной гауссовой кривизны
связано с именем российского математика немецкого происхождения Фердинанда
Миндинга (1806—1885). В серии работ конца 1830-х годов он доказал, что:
любой достаточно маленький кусок любой поверхности постоянной
положительной кривизны $K$ можно положить на сферу радиуса
$R=\dfrac1{\sqrt K}$ с сохранением всех расстояний (ещё раньше было
известно, что достаточно маленькие куски поверхностей нулевой кривизны можно
положить на плоскость);
любой достаточно маленький кусок любой поверхности постоянной
отрицательной кривизны можно положить с сохранением расстояний на любую
другую поверхность той же отрицательной кривизны, причём повернув его произвольным образом (т. е. для таких поверхностей локально
имеет место упоминавшийся выше принцип наложения);
кроме того, он исследовал треугольники на поверхностях постоянной
отрицательной кривизны $K$ и вывел для них формулы тригонометрии, в том числе формулы (2)—(4) для прямоугольных треугольников, где $R=\dfrac1{\sqrt{-K}}$.
Удивительно, но Миндинг так и не сделал следующий шаг — не заметил, что его формулы совпадают с формулами Лобачевского, и не догадался, что на поверхностях постоянной отрицательной кривизны локально (в небольшой
окрестности каждой точки) реализуется геометрия Лобачевского. Этот шаг тоже
был сделан Бельтрами в 1868 году. Простейшей и важнейшей поверхностью
постоянной отрицательной кривизны является псевдосфера,
получающаяся при вращении вокруг прямой трактрисы, или кривой
влечения (см. подробнее в уже упоминавшейся статье
Н. Виленкина).
Локальный принцип наложения для псевдосферы можно проиллюстрировать,
изготовив «заплатку» из гнущегося материала в форме куска псевдосферы и положив её на модель псевдосферы. Тогда эту «заплатку» можно будет
произвольным образом перемещать и вращать, так что всё время в процессе
движения она будет прилегать к псевдосфере (см.
модель
на сайте «Математические этюды»),
Стоит заметить, что псевдосфера и другие поверхности постоянной
отрицательной кривизны не дают моделей всей плоскости Лобачевского целиком,
а дают только локальные модели её маленьких кусков. Естественным образом
возник вопрос о том, можно ли реализовать всю плоскость Лобачевского целиком
в виде поверхности постоянной отрицательной кривизны в трёхмерном евклидовом
пространстве. Отрицательный ответ на этот вопрос был дан в 1901 году
выдающимся немецким математиком Давидом Гильбертом (1862—1943).
Площади и объёмы
На сфере и на плоскости Лобачевского имеются удивительные формулы,
выражающие площадь $S$ треугольника через его углы $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. В предположении, что $R=1$, где $R$ – радиус сферы в сферическом
случае и константа из теоремы 1 в случае геометрии Лобачевского, эти формулы приобретают особенно красивый вид:
$$
\begin{aligned}
S&=\alpha+\beta+\gamma-\pi\quad\text{(для сферы)},\\
S&=\pi-\alpha-\beta-\gamma\quad\text{(для плоскости Лобачевского)}.
\end{aligned}
$$
Ещё более удивительно выглядят формулы для объёмов в пространстве
Лобачевского. Они записываются в терминах специальной функции
Лобачевского
$$
\text{Л}(x)=\textstyle-{\int\limits_0^x{\ln|2\sin t|}\,dt}.
$$
Именно такой вид этой функции, a также название «функция Лобачевского» и обозначение при помощи кириллической буквы «Л», были предложены выдающимся
американским математиком Джоном Милнором (род. 1931); сам Лобачевский
использовал немного другую, но эквивалентную ей функцию.
Чтобы читатель почувствовал всю сложность теории объёмов в геометрии
Лобачевского, приведём формулу для объёма бипрямоугольного тетраэдра,
выведенную Лобачевским в 1836 году. Тетраэдр $ABCD$ называется
бипрямугольным, если ребро $AB$ перпендикулярно плоскости $BCD$), а ребро $CD$ перпендикулярно плоскости $ABD$. Обозначим через $\alpha$, $\beta$
и $\gamma$ двугранные углы тетраэдра при рёбрах $AB$, $AC$ и $CD$
соответственно; остальные его двугранные углы прямые. Для того чтобы было
проще записать формулу, положим $\alpha_1=\alpha$,
$\alpha_2=\dfrac\pi2-\beta$, $\alpha_3=\gamma$ и введём вспомогательный
острый угол $\delta$ такой, что $$
\tg\delta=\dfrac{\sqrt{\cos^2\beta-\sin^2\alpha\sin^2\gamma}}{\cos\alpha\cos\gamma}.
$$
Тогда объём тетраэдра $ABCD$ вычисляется по формуле
$$
V=\dfrac12\text{Л}{\left(\dfrac\pi2-\delta\right)}+\dfrac14\sum\limits_{i=1}^3
{}(-1)^{i+1}\cdot(\text{Л}(\alpha_i+\delta)-\text{Л}(\alpha_i-\delta)).
$$
Автор этой статьи впервые увидел эту формулу в книге «Геометрия пространств
постоянной кривизны», написанной Д. В. Алексеевским,
Э. Б. Винбергом и А. С. Солодовниковым, и не может
удержаться от того, чтобы не процитировать фразу из этой книги: «Достойно
удивления, что Н. И. Лобачевский нашёл эту замечательную формулу,
в одиночестве продвигаясь от самых азов неевклидовой геометрии!».
Геометрия Лобачевского и современная математика
Начиная с конца XIX века геометрия Лобачевского становится активно
развивающейся областью математики: ею занимаются крупнейшие математики того
времени (Клейн, Пуанкаре, Гильберт), она постепенно обрастает связями с другими областями математики и теоретической физики. Активно изучаются
фуксовы и клейновы группы — аналоги кристаллографических групп для плоскости
и пространства Лобачевского, они находят приложения в комплексном анализе и теории чисел.
Продолжается изучение и применение геометрии Лобачевского и в XX веке. Уже упоминавшаяся выше теорема Гильберта о невозможности
погружения плоскости Лобачевского в евклидово пространство положила начало
глубоким результатам по теории поверхностей отрицательной кривизны, прежде
всего связанным с именем советского геометра Николая Владимировича Ефимова
(1910—1982). Развивается и геометрия Лобачевского в пространствах
размерностей больше 3. Важнейшим объектом изучения становятся
гиперболические многообразия — пространства, которые локально
(т. е. в маленькой окрестности каждой своей точки) устроены так же, как пространство Лобачевского. Начиная с 1960-х годов,
благодаря работам советского и российского математика Дмитрия Викторовича
Аносова (1936—2014) эти многообразия находят важнейшее приложение в теории
динамических систем: оказывается, что движение по геодезическим на гиперболических многообразиях даёт очень важные примеры хаотических
систем.
В 1970-х годах гиперболические многообразия становятся
мощнейшим инструментом в трёхмерной топологии, в том числе в теории узлов.
Этот подход связан в первую очередь с работами американского математика
Уильяма Тёрстона (1946—2012). Оказалось, что для изучения узлов в трёхмерном
пространстве крайне полезна следующая конструкция: узел «высверливается» из пространства и на множестве, остающемся после такого высверливания, задаётся
гиперболическая метрика — новые «расстояния» между точками (не совпадающие с обычными евклидовыми расстояниями), которые локально (в окрестности каждой
точки) устроены как расстояния в пространстве Лобачевского. С геометрией
Лобачевского тесно связана и глубокая гипотеза геометризации
Тёрстона. Доказательство этой гипотезы (частным случаем которой
является знаменитая гипотеза Пуанкаре) российским математиком
Григорием Яковлевичем Перельманом (род. 1966) в 2003 году стало
крупнейшим математическим достижением начала XXI века.
Также в 2000-х годах иранским и американским
математиком Мариам Мирзахани (1977—2017) были получены глубокие результаты о двумерных гиперболических многообразиях и замкнутых геодезических на них, за которые в 2014 году она первой среди женщин-математиков была награждена
высшей международной математической наградой — Филдсовской премией.
Таким образом, за два века своего развития геометрия Лобачевского прочно
вошла в качестве важного раздела в современную математику и находит всё новые интересные связи и приложения в самых разных её областях.
