Гайфуллин А. А.

Два века геометрии ЛобачевскогоГайфуллин А. А. Два века геометрии Лобачевского // Квант. — 2026. — № 2. — С. 2‍—‍9.‍‍

200 лет назад, 11 [23] февраля 1826 года на заседании физико-математического отделения Императорского Казанского университета Николаем Ивановичем Лобачевским (1792‍—‍1856) был прочитан доклад «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных линиях». Этот день стал днём рождения новой, неевклидовой геометрии, которая теперь называется геометрией Лобачевского. Содержание доклада Лобачевского вошло в качестве первой части в его статью «О началах геометрии», которая 3 года спустя, в феврале 1829 года, была опубликована в журнале «Казанский вестник». В чём же состояло открытие Лобачевского? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сначала напомнить некоторые исторические этапы развития геометрии.

«Начала» Евклида (написанные около 300 г. до н. э.) — фундаментальный труд по геометрии и теории чисел, первый из дошедших до нас источников, в котором развит аксиоматический метод построения геометрии, состоящий в том, что ряд основных очевидных утверждений принимается в виде постулатов и аксиом, а все последующие утверждения (теоремы) выводятся из них логическим путём. Значение этого труда для человеческой культуры невозможно переоценить. Удивительный факт: «Начала» определяют стиль построения и преподавания геометрии на протяжении уже более чем двух тысяч лет!

Тем не менее, недостатки системы аксиом Евклида были очевидны ещё с античных времён. В геометрии очень трудно строить доказательства, совсем не опираясь на чертёж и здравый смысл. Если проанализировать доказательства из книги Евклида (равно как и доказательства из современных школьных учебников геометрии), становится понятно, что многие из них в действительности используют больше, чем заложено в аксиомах. Путь от классической системы аксиом Евклида к современной полной и строгой системе аксиом геометрии был трудным и долгим, потребовал усилий многих замечательных математиков. Во времена Лобачевского этот путь был ещё далёк от завершения: великолепное здание Геометрии всё ещё стояло на весьма ненадёжном фундаменте. Именно эту зыбкость основ Лобачевский и имел в виду в несколько парадоксальной на первый взгляд фразе, взятой нами в качестве эпиграфа к настоящей статье.

Окончательное решение задачи о построении полной непротиворечивой системы аксиом евклидовой геометрии было достигнуто существенно позже трудов Лобачевского — на рубеже ХIХ и ХХ веков — и связано с именами М. Пиери, Д. Гильберта, В. Ф. Кагана. В частности, любая современная система аксиом содержит тот или иной вариант аксиомы непрерывности, позволяющей использовать в геометрических утверждениях операцию перехода к пределу. Полезное упражнение: проанализируйте доказательство обобщённой теоремы Фалеса из любого учебника геометрии и поймите, что в случае иррационального отношения длин отрезков без операции перехода к пределу её доказать не удаётся!

Однако среди многих (в основном технических) проблем аксиоматики геометрии была одна принципиальная. Она связана с V постулатом‍, который в «Началах» Евклида был сформулирован так:

V. [Нужно потребовать,] чтобы если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов оказалась меньше двух прямых, то эти прямые при достаточном их продолжении пересекались бы и притом с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Проблема в том, что этот постулат несомненно выделяется из ряда других постулатов и аксиом Евклида: он сложнее и не выглядит таким базовым и очевидным, как остальные. Один из самых известных античных комментаторов труда Евклида Прокл Диадох‍ (412‍—‍485) писал: «Это положение должно быть совершенно изъято из числа постулатов, потому что это — теорема, вызывающая много сомнений... необходимо обнаружить его справедливость, но не как нечто, представляющееся нам очевидным без доказательства, а как предложение, становящееся таковым благодаря доказательству». Попытки вывести V постулат из остальных не прекращались с античных времён до начала ХIХ века. Был предложен ряд неверных доказательств, в том числе такими известными математиками, как Дж. Валлис (1616‍—‍1703) и A.-M. Лежандр (1752‍—‍1833). Естественно, многие авторы, пытавшиеся доказать V постулат, рассуждали «от противного»: предполагали его отрицание и доказывали в этом предположении различные утверждения, надеясь прийти (и порой ошибочно приходя) к противоречию.

Лобачевский сначала тоже следовал этим путём. Однако в начале 20-х годов ХIХ века он пришёл к принципиально новой точке зрения: он понял, что V постулат независим от остальных аксиом геометрии и, таким образом, геометрию можно развивать как принимая этот постулат — и тогда получается привычная для нас евклидова геометрия, так и принимая его отрицание — и тогда получается принципиально новый вид геометрии, которую он называл воображаемой геометрией. Сейчас она называется геометрией Лобачевского или гиперболической геометрией. После этого Лобачевский стал систематически развивать свою воображаемую геометрию уже не с целью прийти к противоречию и доказать V постулат, а с целью построения новой теории, являющейся возможной альтернативой евклидовой геометрии.

Наряду с Лобачевским создателями неевклидовой геометрии, независимо разработавшими её основные положения, были венгерский геометр Янош Бойяи (1802‍—‍1860) и великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс (1777‍—‍1855). Тем не менее, именно Лобачевскому принадлежат как первое публичное выступление (1826), так и первая публикация (1829) с изложением основ новой геометрии.

Журнал «Квант» уже неоднократно обращался к теме неевклидовой геометрии. В 1976 году, к 150-летию доклада Лобачевского, в двух номерах журнала (№ 2‍ и № 3‍) была опубликована серия статей разных авторов, позволяющая взглянуть с разных сторон на геометрию Лобачевского и историю её возникновения. Подробная биографическая статья о Лобачевском была написана к его 200-летнему юбилею Ю. П. Соловьёвым («Квант», 1992, № 11‍). А в следующем номере журнала (№ 12 за 1992 г.‍) была перепечатана первая часть сочинения Лобачевского «Геометрические исследования по теории параллельных линий», первоначально вышедшего на немецком языке в 1840 году.

В настоящей статье мы не будем подробно останавливаться на истории создания неевклидовой геометрии. Вместо этого мы расскажем о некоторых математических аспектах работ Лобачевского и о последующем развитии и приложениях созданной им новой геометрии.

Почему V постулат не очевиден?

Прежде чем отвечать на этот вопрос, давайте попробуем ответить на противоположный: а почему, собственно, V постулат представляется нам очевидным? Кажется, что основных причин три:

Психологическая: мы просто привыкли к тому, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Мы много раз слышали эту формулировку, учили её в школе и т. п.‍

Алгебраическая: мы привыкли работать с декартовыми координатами и, думая о прямой, автоматически представляем себе график линейной функции $y=kx+b$‍,‍ поэтому нам очевидно, что прямая может быть параллельна оси $Ox$‍,‍ только если $k=0$‍.‍

Геометрическая: мы много раз в жизни сталкивались с разбиением плоскости на квадраты или прямоугольники (клеточки в школьной тетради, клетки шахматной доски, плитки на полу или на стене и т. п.), поэтому невольно представляем себе прямую на разбитой на квадраты плоскости.

Вторая и третья причины — по сути тоже «психологические». В реальном мире никто из нас никогда не видел идеальной декартовой системы координат или идеального разбиения плоскости на квадраты — все наши измерения длин и углов всегда приближённые. Возможность ввести декартову систему координат или разбить плоскость на квадраты доказывается с использованием V постулата, и эти факты ему равносильны.

Чтобы понять, почему V постулат может быть неверен, произведём следующий мысленный эксперимент. Представим себе, что имеются разумные двумерные существа («плоские жуки»), которые могут жить на некоторой поверхности, перемещаться по ней и измерять углы и расстояния вдоль этой поверхности, но лишены какой-либо возможности выходить в третье измерение или чувствовать его. Предположим, что поверхность, на которой живут эти жуки, — сфера огромного (по сравнению с размерами жуков и их возможными перемещениями) радиуса. Тогда жукам будет казаться, что они живут на плоскости, и все их измерения с большой точностью будут подтверждать это. При этом в качестве «прямых» жуки будут воспринимать дуги больших кругов, т. е. сечений сферы плоскостями, проходящими через её центр. (Традиционно такие сечения принято называть именно «большими кругами», хотя, строго говоря, это, конечно же, окружности, а не круги.) Жуки могут придумать для своего мира евклидову геометрию, научиться вводить в нём декартовы координаты. На самом деле координаты будут декартовыми только приближённо, но, если радиус сферы достаточно велик, жуки не смогут почувствовать это. Им тоже будет казаться, что в их мире верна аксиома параллельности: через точку, не лежащую на «прямой», можно провести ровно одну «прямую», параллельную данной. Однако это будет неверно! В действительности в их мире любые две «прямые» пересекаются! И та «прямая», которая кажется жукам параллельной данной, всё равно пересечёт её где-то очень далеко.

Отметим, что описанный мысленный эксперимент никак не показывает, что V постулат нельзя вывести из остальных аксиом Евклида. Если бы нам удалось предъявить модель, в которой для каких-нибудь «точек» и «прямых» были бы выполнены все аксиомы Евклида, кроме V постулата, а V постулат нарушался, то из существования такой модели действительно следовало бы, что V постулат никак нельзя вывести из остальных аксиом. Однако построенная модель (сферическая геометрия) не такая — в ней нарушается не только V постулат, но и более простая и фундаментальная аксиома: через две точки можно провести прямую, причём ровно одну. Действительно, через пару противоположных точек сферы проходит бесконечно много «прямых» (больших кругов). Тем не менее, приведённое рассуждение показывает, что здравый смысл может нас обманывать и очевидный на первый взгляд факт, например, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны друг другу, может оказаться неверным, и они всё-таки пересекутся! Но теперь столь же естественно предположить, что в каком-нибудь другом «мире» здравый смысл может нас обманывать и в другую сторону, а именно, может оказаться, что две прямые, для которых сумма односторонних углов чуть-чуть меньше $180^\circ$‍‍ и которые по нашей интуиции должны пересечься где-то очень далеко, на самом деле не пересекутся. И тогда V постулат будет неверен!

В завершение таких мысленных экспериментов стоит отметить, что они не совсем умозрительны. В роли таких «плоских жуков» в течение многих веков выступали... люди. Действительно, Земля долго считалась плоской и, чтобы понять, что это не так, потребовалось развитие астрономии (т. е. выход в пространство) и дальних путешествий (т. е. измерение расстояний, сравнимых с размерами Земли).

Угол параллельности

Как же будет устроена геометрия, если мы вслед за Лобачевским предположим, что V постулат неверен (а все остальные аксиомы верны)?

Прежде всего, стоит отметить: задолго до работ Лобачевского было хорошо известно, что из остальных аксиом (без использования V постулата) вытекает, что сумма углов любого треугольника не превосходит развёрнутого угла $\pi$‍‍ (здесь и далее нам будет удобно измерять углы в радианах). Отсюда легко следует, что на плоскости через любую точку $A$‍,‍ не лежащую на прямой $l$‍,‍ можно провести прямую, параллельную $l$‍.‍ Для этого достаточно опустить перпендикуляр‍ $AB$‍‍ на прямую $l$‍‍ и провести через точку $A$‍‍ прямую $n_0$‍,‍ перпендикулярную $AB$‍‍ (рис. 1). Если бы прямая $n_0$‍‍ пересекала прямую $l$‍,‍ то мы получили бы треугольник с двумя прямыми углами и, значит, с суммой углов больше $\pi$‍,‍ а это невозможно. В евклидовой геометрии (т. е. если верен V постулат) прямая $n_0$‍‍ была бы единственной прямой, проходящей через точку $A$‍‍ и не пересекающей прямую $l$‍.‍

Что же будет в воображаемой геометрии Лобачевского, т. е. если V постулат неверен? Возьмём точку $C$‍‍ на прямой $l$‍‍ (для определённости справа от точки $B$‍)‍ и рассмотрим угол $\alpha=\angle BAC$‍.‍ Будем двигать точку $C$‍‍ вправо по прямой $l$‍‍ всё дальше от точки $B$‍.‍ При этом угол $\alpha$‍‍ будет монотонно возрастать. Однако он всегда остаётся меньше прямого угла, т. е. меньше $\dfrac\pi2$‍.‍ Следовательно, имеется предельное значение $\alpha_0$‍,‍ к которому угол $\alpha$‍‍ стремится, когда точка $C$‍‍ уходит бесконечно далеко направо по прямой $l$‍.‍ Это предельное значение $\alpha_0$‍‍ называется углом параллельности для точки $A$‍‍ и прямой $l$‍.‍ В евклидовой геометрии мы, конечно же, имели бы $\alpha_0=\dfrac\pi2$‍.‍ Однако, не пользуясь V постулатом, мы можем лишь утверждать, что $\alpha_0\le\dfrac\pi2$‍.‍ Случай $\alpha_0=\dfrac\pi2$‍‍ отвечает евклидовой геометрии, случай $\alpha_0\lt\dfrac\pi2$‍‍ — неевклидовой (геометрии Лобачевского).

Теперь будем двигать точку $C$‍‍ по прямой $l$‍‍ влево и аналогичным образом определим предельный угол $\alpha_0'$‍‍ в этом случае. Докажем, что $\alpha_0'=\alpha_0$‍.‍ Это доказательство очень простое, но оно опирается на фундаментальный принцип наложения, играющий ключевую роль в построении как евклидовой, так и неевклидовой геометрии. Этот принцип состоит в том, что плоскость (или пространство) можно наложить с сохранением расстояний и углов на себя так, чтобы любая наперёд заданная точка $P$‍‍ наложилась на любую точку $P'$‍‍ и при этом любые два (в случае плоскости) или три (в случае пространства) попарно перпендикулярных луча, выходящих из $P$‍,‍ наложились на любые два или три попарно перпендикулярных луча, выходящих из $P'$‍‍ ‍. Из этого принципа, в частности, следует, что можно наложить плоскость на себя, отразив её симметрично относительно прямой $AB$‍.‍ При этом правый луч прямой $l$‍‍ перейдёт в левый. Так как наложение сохраняет все углы, то $\alpha_0'=\alpha_0$‍.‍

Что же происходит, если угол параллельности $\alpha_0$‍‍ строго меньше прямого угла? Рассмотрим две прямые $n_1$‍‍ и $n_2$‍,‍ проходящие через точку $A$‍‍ и образующие с лучом $AB$‍‍ угол $\alpha_0$‍‍ (см. рис. 1). Эти прямые делят плоскость на две пары вертикальных углов, которые закрашены на рисунке синим и красным цветом соответственно. Любая прямая, проходящая через точку $A$‍‍ внутри красных углов, будет пересекать прямую $l$‍.‍ Однако любая прямая, проходящая через точку $A$‍‍ внутри синих углов, не будет пересекать прямую $l$‍;‍ граничные прямые $n_1$‍‍ и $n_2$‍‍ тоже не пересекают прямую $l$‍‍ (докажите!). Таким образом, через точку $A$‍‍ проходит бесконечно много прямых, не пересекающих прямую $l$‍.‍ Прежде чем идти дальше, сделаем одно замечание о терминологии. В евклидовой геометрии любая прямая на плоскости, не пересекающая прямую $l$‍,‍ называется прямой, параллельной $l$‍.‍ В неевклидовом случае принята другая терминология: из всех прямых, проходящих через точку $A$‍‍ и не пересекающих прямую $l$‍,‍ параллельными прямой $l$‍‍ называются только прямые $n_1$‍‍ и $n_2$‍;‍ все остальные прямые, проходящие строго внутри синих углов, называются расходящимися с прямой $l$‍.‍ При этом для прямых $n_1$‍‍ и $n_2$‍‍ различают направления параллельности — говорят, что прямая $n_1$‍‍ параллельна прямой $l$‍‍ в направлении луча $BB_1$‍‍ (или кратко: параллельна лучу $BB_1$‍),‍ а прямая $n_2$‍‍ — в направлении луча $BB_2$‍.‍ Такая терминология связана со следующими фактами, доказанными Лобачевским:

1. если точка движется по прямой, параллельной прямой $l$‍,‍ то расстояние от этой точки до $l$‍‍ стремится к нулю при движении в направлении параллельности и стремится к бесконечности при движении в противоположном направлении;
2. если точка движется по прямой, расходящейся с прямой $l$‍,‍ то расстояние от этой точки до $l$‍‍ стремится к бесконечности при движении в любом из двух направлений.

Теперь установим, от чего может зависеть угол параллельности $\alpha_0$‍.‍ Оказывается, он полностью определяется расстоянием $x=AB$‍‍ от точки $A$‍‍ до прямой $l$‍.‍ Это опять же следует из принципа наложения. Действительно, если $\widetilde A$‍‍ и $\widetilde{\,l\,}$‍‍ — другие точка и прямая такие, что расстояние от $\widetilde A$‍‍ до $\widetilde{\,l\,}$‍‍ равно расстоянию от $A$‍‍ до $l$‍,‍ то можно наложить плоскость на себя так, чтобы точка $A$‍‍ наложилась на $\widetilde A$‍‍ и прямая $l$‍‍ — на прямую $\widetilde{\,l\,}$‍.‍ Значит, угол параллельности для пары $(\widetilde A,\widetilde{\,l\,})$‍‍ такой же, как для пары $(A,l)$‍.‍ Таким образом, угол параллельности $\alpha_0$‍‍ является функцией от расстояния $x=AB$‍;‍ следуя Лобачевскому, обозначим эту функцию через $\Pi(x)$‍.‍

Естественно, мы не имеем возможности в этой статье аккуратно излагать, следуя Лобачевскому, всё построение неевклидовой геометрии. Тем не менее, хотелось бы сконцентрироваться на одном шаге его рассуждений, который, с одной стороны, очень важен, а с другой — был сделан им удивительно изящно. Этот шаг — переход от элементарной геометрии к аналитической. В евклидовой геометрии ключевую роль в таком переходе играет теорема Пифагора. С одной стороны, она позволяет вводить декартовы координаты и записывать в них формулу для расстояния между точками, с другой стороны, из неё выводятся теоремы синусов и косинусов, которые также дают мощный инструментарий для аналитического решения геометрических задач. В геометрии Лобачевского аналог теоремы Пифагора и другие соотношения между элементами прямоугольного треугольника тоже важны, но, пожалуй, ещё более важна явная формула для функции угла параллельности $\Pi(x)$‍.‍ Оба эти результата были получены Лобачевским уже в его первой работе по неевклидовой геометрии. Сформулируем их.

Теорема 1. Найдётся такая постоянная $R\gt0$‍,‍ что $$ \Pi(x)=2\arctg\left(e^{-\frac{\scriptstyle x}{\scriptstyle R}}\right).\tag1 $$

Теорема 2. Пусть постоянная $R$‍‍ такая же, как в предыдущей теореме. Тогда для любого прямоугольного треугольника с катетами $a$‍‍ и $b$‍,‍ противолежащими им углами $\alpha$‍‍ и $\beta$‍‍ и гипотенузой $c$‍‍ имеют место равенства $$ \begin{gather*} \ch\left(\dfrac aR\right)\ch\left(\dfrac{\smash b\vphantom a}R\right)= \ch\left(\dfrac cR\right),\tag2\\[10pt] \sh\left(\dfrac aR\right)=\sh\left(\dfrac cR\right)\sin\alpha,\tag3\\[10pt] \sh\left(\dfrac{\smash b\vphantom a}R\right)=\sh\left(\dfrac cR\right)\sin\beta.\tag4 \end{gather*} $$ Напомним, что функции гиперболических косинуса и синуса определяются по формулам $$ \ch x=\dfrac{e^x+e^{-x}}2,\quad\sh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}2. $$

Имеется очень важная аналогия между геометрией Лобачевского и геометрией на сфере. Изучая геометрию на сфере, мы считаем «прямыми» большие круги и считаем расстоянием между двумя точками длину кратчайшей дуги большого круга, соединяющей эти точки. Для сферического прямоугольного треугольника на сфере радиуса $R$‍‍ имеют место следующие соотношения между его сторонами и углами: $$ \begin{gather*} \cos\left(\dfrac aR\right)\cos\left(\dfrac{\smash b\vphantom a}R\right)= \cos\left(\dfrac cR\right),\tag5\\[10pt] \sin\left(\dfrac aR\right)=\sin\left(\dfrac cR\right)\sin\alpha,\tag6\\[10pt] \sin\left(\dfrac{\smash b\vphantom a}R\right)=\sin\left(\dfrac cR\right)\sin\beta.\tag7 \end{gather*} $$

Естественно, сферическая геометрия изучалась с древнейших времён и ко времени работ Лобачевского формулы (5)—(7) были отлично известны. Аналогия между формулами (2)—(4) и формулами (5)—(7) очевидна. Так же, как в сферическом случае, в случае геометрии Лобачевского параметр $R$‍‍ можно в некотором смысле интерпретировать как радиус кривизны. Отметим, однако, что Лобачевский ещё не умел интерпретировать его таким образом. От этого параметра (как в сферическом случае, так и в случае геометрии Лобачевского) можно избавиться за счёт правильного выбора единицы измерения длины, а именно, можно взять $R$‍‍ в качестве такой единицы измерения и тогда общий случай сведётся к случаю $R=1$‍.‍

С другой стороны, важна такая точка зрения: параметр $R$‍‍ можно устремить к бесконечности. Тогда и геометрия на сфере, и геометрия Лобачевского будут стремиться к евклидовой геометрии. В случае геометрии на сфере это уже обсуждалось: сфера очень большого радиуса становится похожей на плоскость. В случае геометрии Лобачевского это проявляется в том, что при $R$‍,‍ стремящемся к бесконечности, угол параллельности $\Pi(x)$‍,‍ задаваемый формулой (1), стремится к $\dfrac\pi2$‍.‍ Полезное упражнение для читателей заключается в том, чтобы, используя разложения Тейлора для функций $\ch x$‍‍ и $\cos x$‍,‍ понять, что при $R\to\infty$‍‍ обе формулы (2) и (5) превращаются в пределе в обычную евклидову теорему Пифагора $a^2+b^2=c^2$‍,‍ a формулы (3), (4), (6) и (7) — в определение синуса.

В современной математике геометрия Евклида, сферическая геометрия и геометрия Лобачевского объединяются в семейство геометрий постоянной кривизны, зависящих от одного параметра $K$‍,‍ называемого кривизной. При этом $K=0$‍‍ для евклидовой геометрии, $K=\dfrac1{R^2}\gt0$‍‍ для сферической геометрии и $K=-\dfrac1{R^2}\lt0$‍‍ для геометрии Лобачевского. Важнейшим свойством, характеризующим эти три геометрии, является то, что в них в полной мере выполнен принцип наложения. С точки зрения системы аксиом ситуация такая. В евклидовой геометрии верны все аксиомы Евклида, включая V постулат. В геометрии Лобачевского верны все аксиомы Евклида, кроме V постулата, а он неверен. В сферической геометрии неверен ряд других аксиом: через две точки не обязательно проходит единственная «прямая», нарушаются аксиомы, связанные с отношением «лежать между» для точек на «прямых». А с V постулатом в сферической геометрии получается так: в своей исходной формулировке он верен, а в более привычной современным школьникам форме аксиомы параллельности — нет. В такой удивительной ситуации нет никакого противоречия: дело в том, что эти две формулировки V постулата равносильны только при условии выполнения всех остальных аксиом Евклида.

Параллаксы звёзд

Прежде чем доказывать теорему 1, обсудим, каким образом Лобачевский предлагал с помощью неё проверять, является ли геометрия нашего мира евклидовой или неевклидовой («воображаемой»). Для понимания и оценки работ Лобачевского важно понимать, что он был далёк от мысли о том, чтобы развивать свою «воображаемую геометрию» исключительно как абстрактную науку, игру ума, не имеющую отношения к реальности. На самом деле он развивал её как потенциально возможную геометрию реального пространства. Геометрия нашего пространства может быть евклидовой. Альтернативная возможность состоит в том, что в нашем пространстве не выполнен V постулат‍. Лобачевский изучал получающуюся в этом случае «воображаемую геометрию», чтобы потом опытным путём выяснить, какая из этих двух геометрий реализуется. Как же он планировал это делать?

Во времена Лобачевского уже было известно, что расстояния до звёзд можно вычислять, измеряя их параллаксы, хотя способ проводить эти измерения с разумной точностью ещё не был найден. Напомним, как это делается. Для любой звезды $C$‍‍ можно выбрать такой диаметр $AB$‍‍ орбиты Земли, который перпендикулярен направлению на эту звезду (рис. 2). Тогда $\triangle ABC$‍‍ равнобедренный с основанием $AB$‍.‍ Кроме того, длина основания этого треугольника (равная диаметру $d$‍‍ орбиты Земли) гораздо меньше длин его боковых сторон. Поэтому углы $ABC$‍‍ и $BAC$‍‍ при основании этого треугольника почти прямые. При этом угловой дефект $$ \delta=\pi-\angle ABC-\angle BAC $$ доступен прямому наблюдению: это угловое смещение видимого положения звезды на звёздном небе за полгода. Это смещение $\delta$‍‍ и называют параллаксом звезды $C$‍.‍

Если геометрия нашего пространства евклидова, то сумма углов $\triangle ABC$‍‍ равна $\pi$‍,‍ значит, $\angle ACB=\pi$‍.‍ Так как синус малого угла, выраженного в радианах, с большой точностью равен самому этому углу, то имеет место следующая формула для расстояния $\rho$‍‍ до звезды $C$‍:‍ $$ \rho=\dfrac d\delta. $$

А что же будет, если в нашем пространстве реализуется геометрия Лобачевского? Для упрощения рассуждений можно считать, что диаметр $AB$‍‍ выбран так, что $\angle BAC$‍‍ в точности равен $\dfrac\pi2$‍;‍ тогда $\angle ABC=\dfrac\pi2-\delta$‍‍ (рис. 3). Такое положение диаметра настолько незначительно отличается от положения диаметра, при котором $\triangle ABC$‍‍ равнобедренный, что это невозможно обнаружить на практике. Теперь из того, что лучи $AC$‍‍ и $BC$‍‍ пересекаются, следует, что $\angle ABC\lt\Pi(d)$‍,‍ т. е. $$ \delta\gt\dfrac\pi2-\Pi(d). $$

Получилось удивительное следствие: если в нашем мире реализуется геометрия Лобачевского, то параллаксы всех звёзд (как бы далеко эти звёзды ни находились!) должны быть больше некоторого конкретного положительного числа $\delta_\infty=\dfrac\pi2-\Pi(d)$‍.‍

Именно этот факт Лобачевский и предлагал использовать для выяснения того, является ли геометрия нашего мира евклидовой: если мы измерим параллакс некоторой звезды и он окажется достаточно маленьким, то это даст оценку на угол $\Pi(d)$‍‍ и, значит, с помощью формулы (1) — оценку снизу на величину $R$‍.‍ (Напомним, что чем эта величина больше, тем ближе геометрия нашего пространства к евклидовой.) С другой стороны, если измерения покажут отсутствие звёзд с достаточно маленькими параллаксами, то это будет доводом в пользу того, что геометрия нашего пространства неевклидова. Уже в своей первой статье 1829 года Лобачевский цитирует современные на тот момент измерения параллаксов, сделанные Дассом-Мондардье, который получил для параллаксов Сириуса и Ригеля значения $1{,}24''$‍‍ и $1{,}43''$‍‍ соответственно, и выводит из них оценку $d\lt6\cdot10^{-6}\cdot R$‍,‍ из которой видно, что $R$‍‍ очень велико по сравнению с диаметром орбиты Земли. Опираясь на это вычисление, Лобачевский заключает: «...все линии, которые подлежат нашему измерению, даже расстояния между небесными телами, столько малы в сравнении с линиею, принятой в теории за единицу‍, что употребительные до сих пор уравнения прямолинейной Тригонометрии без чувствительной погрешности должны быть справедливы...».

Стоит, правда, заметить, что использованные Лобачевским значения параллаксов совершенно неудовлетворительны. Первые достаточно точные измерения параллаксов звёзд были выполнены Ф. В. Струве, Ф. Бесселем и Т. Хендерсоном только в конце 30-х годов ХIХ века, а современные измерения дают для параллаксов Сириуса и Ригеля значения $0{,}38''$‍‍ и $0{,}004''$‍‍ соответственно. Тем не менее, метод Лобачевского (если применить его к верным результатам измерений) отлично работает!‍ Современный метод сверхдальней интерферометрии позволяет надёжно измерять параллаксы порядка $10^{-4}$‍‍ угловых секунд, что даёт оценку $R\gt10^5$‍‍ световых лет. Таким образом, геометрия нашего пространства евклидова с громадной точностью.

В действительности, общая теория относительности учит нас, что наше пространство (а точнее, четырёхмерное пространство-время) искривлено массивными телами, поэтому можно говорить лишь о том, что его геометрия «в целом» близка к евклидовой примерно в том же смысле, в котором геометрия Земли близка к сферической, несмотря на наличие на ней рельефа: гор, ущелий и т. п.

(Продолжение следует)