О свойствах центра вневписанной окружностиГотман Э. Г., Дубровский В. Н. О свойствах центра вневписанной окружности // Квант. — 1989. — № 9. — С. 38—39.
Текст статьиГотман Э. Г., Дубровский В. Н. О свойствах центра вневписанной окружности // Квант. — 1989. — № 9. — С. 38—39.
В этой заметке мы приведём решение задачи М1146. Сама по себе эта задача не сложна. Но при ближайшем рассмотрении за ней выстраивается длинная цепочка обобщений.
М1146.Точка $K$ — середина стороны $AB$ равностороннего треугольника $ABC$. На сторонах $AC$ и $BC$ взяты точки $M$ и $N$ так, что $\angle MKN=60^\circ$. Докажите, что периметр треугольника $MCN$ равен половине периметра треугольника $ABC$.
Возьмём сразу общий случай. Пусть $K$ — точка на биссектрисе угла $MCN$ величины $\gamma$, причём точки $K$ и $C$ лежат по разные стороны от $MN$ (рис. 1). Тогда следующие условия эквивалентны:
$$\angle MKN=\dfrac{\pi-\gamma}{2},$$
$MN=PM+QM$, где $P$ и $Q$ — проекции точки $K$ на стороны угла.
Рис. 1Рис. 2
Задача М1146 получается отсюда при $\gamma=60^\circ$ (рис. 2): в этом случае угол $MKN$ из (1) равен $60^\circ$, а свойство (2) эквивалентно равенствам $CM+MN+NC=CP+CQ=2CK\cos30^\circ=\dfrac32AB$, т. е. утверждению задачи. Заметим, кстати, что при $\gamma=90^\circ$ возникает задача М851 (см. «Квант» №3 за 1984 г.).
Одно из доказательств эквивалентности (1) и (2) можно получить, повернув $\triangle KPM$ на угол $\pi-\gamma$ вокруг точки $K$ (рис. 3). В результате он перейдёт в $\triangle KQL$ ($\angle PKQ=\pi-\gamma$), где $L$ — некоторая точка на прямой $CN$, причём
$$
\angle MKL=\angle MKQ+\angle QKL=\angle MKQ+\angle PKM=\pi-\dfrac{\gamma}{2}
$$
и $NL=NQ+QL=NQ+MP$. Следовательно, каждое из условий (1) и (2) эквивалентно равенству треугольников $MKN$ и $LKN$. Действительно, эти треугольники заведомо имеют общую сторону $KN$ и равные стороны $KM$ и $KL$, а кроме того, в силу (1) — равные углы $\angle MKN=\dfrac{\pi-\gamma}{2}$ и $\angle LKN=\angle LKM-\angle NKM=\pi-\gamma-\dfrac{\pi-\gamma}{2}$, а в силу (2) — равные стороны $MN$ и $NL=NQ+QL=NQ+MP$.
Рис. 3Рис. 4
Второе доказательство эквивалентности (1) и (2) выявляет геометрический смысл точки $K$. Оказывается, условия (1) и (2) означают, что
$K$ — центр вневписанной окружности треугольника $CMN$, т. е. окружности, касающейся стороны $MN$ и продолжений сторон $CM$ и $CN$.
В самом деле, если $K$ — центр этой окружности, то $P$ и $Q$ — точки её касания с прямыми $CM$ и $CN$. Пусть $R$ — точка касания окружности с $MN$ (рис. 4), тогда, очевидно, $MP=MR$, $NQ=NR$, а следовательно, выполнено свойство (2). А из равенства треугольников $KPM$ и $KRM$, $KQM$ и $KRN$ следует, что $\angle MKN=\dfrac12\angle PKQ=\dfrac{\pi-\gamma}{2}$, т. е. выполнено условие (1). Обратно, пусть точка $K$ удовлетворяет, например, условию (1). Впишем в угол $MCN$ окружность с центром $K$ и проведём к ней касательную $M'N'$, параллельную $MN$. По доказанному $\angle M'KN'=\dfrac{\pi-\gamma}{2}=\angle MKN$, но это возможно, только если $M'=M$, $N'=N$. Таким образом, из (1) следует (3). Аналогично доказывается, что из (2) следует (3).
Итак, для всех касательных $MN$ к вписанной в угол $C$ окружности с центром $K$, проведённых со стороны вершины угла, величина угла $MKN$, а также периметр треугольника $CMN$ постоянны $\Big($и равны, соответственно, $\dfrac{\pi-\gamma}{2}$ и $CP+CQ=2CK\cos\dfrac\gamma2\Big)$. Ещё одна постоянная для всех этих отрезков величина — это произведение отношений, в которых точки $M$ и $N$ делят отрезки $CP$ и $CQ$:
Для доказательства заметим, что $MK$ и $NK$ — биссектрисы внешних углов $PMN$ и $QNM$ треугольника $CMN$ (см. рис. 4). Положим $\angle CMN=\alpha$, $\angle CNM=\beta$, тогда из треугольников $PKM$ и $CKM$ получим $\angle CKM=\dfrac\alpha2$, $\angle CKN=\dfrac\beta2$. По теореме синусов
$$
\dfrac{CM}{MP}=\dfrac{\sin\dfrac\beta2}{\sin\dfrac\alpha2\sin\dfrac\gamma2},\quad
\dfrac{CN}{NP}=\dfrac{\sin\dfrac\alpha2}{\sin\dfrac\beta2\sin\dfrac\gamma2}.
$$
Из этих равенств сразу следует (4).
Рис. 5
Ещё одно красивое свойство нашей конфигурации обнаруживается, если провести отрезок $PQ$ и рассмотреть треугольник $RUV$, где $U$ и $V$ — точки пересечения $PQ$ с $KM$ и $KN$ (рис. 5):
$U$ и $V$ — основания высот треугольника $KMN$, причём треугольники $RUV$ и $CNM$ подобны с коэффициентом $\dfrac1{\sin\dfrac\gamma2}$.
Наметим доказательство с помощью преобразования подобия. Сначала проведём биссектрисы всех (внутренних и внешних) углов треугольника $CMN$ и отметим кроме $K$ ещё две точки их пересечения — центры $K_1$ и $K_2$ двух вневписанных окружностей треугольника $CMN$ (см. рис. 5). Поскольку биссектрисы смежных углов перпендикулярны, точки $C$, $M$, $N$ — это основания высот треугольника $KK_2K_1$. Поэтому нам достаточно указать преобразование подобия с коэффициентом $k=\sin\dfrac{\gamma}{2}$, переводящее $\triangle KK_1K_2$ в $\triangle KNM$ и одновременно $\triangle MNC$ в $\triangle VUR$. Таким преобразованием является композиция $F$ симметрии относительно биссектрисы $l$ угла $MKN$ и гомотетии с центром $K$ и коэффициентом $k$.
Действительно, при этом преобразовании:
точка $K$ остаётся на месте, а прямые $KK_1$ и $KK_2$ переходят друг в друга, причём $F(K_1)=N$, $F(K_2)=M$ $\Big($ведь $\dfrac{KN}{KK_1}=\dfrac{KM}{KK_2}=\cos\angle MKN=\sin\dfrac\gamma2=k\Big)$;
$F(C)=R$ (так как $F(\triangle KK_1K_2)=\triangle KNM$, а $KC$ и $KR$ — высоты этих треугольников);
прямая $KR$ переходит в прямую $KC$ (они симметричны относительно $l$), причём $F(R)=E$, где $E$ — точка пересечения $KC$ и $PQ$ $\Big(\dfrac{KE}{KR}=\dfrac{KE}{KQ}=\cos\dfrac12\angle PKQ=k\Big)$, и, следовательно,
прямая $MN$ переходит в прямую $PQ$, а значит, $F(M)=V$, $F(N)=U$.
Попробуйте самостоятельно найти «традиционное» доказательство утверждения (5) (со вспомогательными окружностями, подсчётом углов и т. п.), а также решить следующие задачи.
Докажите, что условия (4) и (5) эквивалентны (1), (2) и (3).
Покажите, что если в нашей конфигурации брать точку $K$ с самого начала по одну сторону с точкой $C$ от прямой $MN$, то условия (2), (4), (5) будут по-прежнему эквивалентны друг другу, а также условиям
$$\angle MKN=\dfrac{\pi+\gamma}{2},$$
$K$ — центр вписанной окружности треугольника $CMN$.
