«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Задачи М1186—М1190 предлагались в этом году на весеннем Турнире городов.
Текст задачи готовится
Докажите, что если $m$ чётно, то все целые числа от 1 до $m-1$ можно выписать в таком порядке, что никакая сумма нескольких подряд не будет делиться на $m$.
На плоскости дано $n$ прямых, никакие три из которых не проходят через одну точку и никакие две не параллельны. Докажите, что в каждой из частей, на которые эти прямые разбивают плоскость, можно поставить целое число, отличное от 0 и не превосходящее по модулю $n$,…
В бильярдном треугольнике вплотную помещается 10 шаров (рис. 1). Докажите, что если в нём поместить 9 шаров, то обязательно останется место для десятого (т. е. центры 9 шаров расположатся по треугольной сетке).
Найдите все решения в целых числах $(x, y)$ уравнения $$ x^{3}-13xy+y^{3}=13. $$
Черепаха вышла из точки $A$ и пришла в точку $B$, двигаясь по произвольной траектории с произвольной скоростью. Вслед за ней из точки $A$ вышла вторая черепаха, которая в каждый момент времени двигалась в направлении первой…
Натуральное число $n$ называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей, меньших $n$ (например: $28=1+2+4+7+14$). Докажите, что нечётное совершенное число (если такое существует) не может одновременно делиться на 3, на 5…
