Задачник «Кванта» / Квант. — 1988. — № 5 / 1988 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Задачи М1101‍—‍М1105; Ф1113‍—‍Ф1117 Задачи М1101—М1105; Ф1113—Ф1117 // Квант. — 1988. — № 5. — С. 29—31, 34.

Задача М1101
На боковых сторонах $AB$‍‍ и $AC$‍‍ равнобедренного треугольника $ABC$‍‍ нашлись такие точки $D$‍‍ и $E$‍‍ соответственно, что $AD=BC=EC$‍‍ и треугольник $ADE$‍‍ равнобедренный. Каким может быть угол при вершине…
Задача М1102
Докажите, что существуют $n$‍‍ различных натуральных чисел, сумма кубов которых равна кубу натурального числа, если
1. $n=3$‍,‍
2. $n=4$‍,‍
3. $n$‍‍ — любое натуральное число, большее…
Задача М1103
1. На бесконечной плоскости, разбитой на квадратные клетки, некоторое — быть может бесконечное — количество прямоугольников размером $1\times2$‍‍ закрашены в чёрный цвет так, что никакие два чёрных прямоугольника не имеют общих точек (даже вершин). Докажите, что…
Задача М1104
В тетраэдре $ABCD$‍‍ грани $ABC$‍‍ и $BCD$‍‍ перпендикулярны, $\angle BAC=90^\circ$‍.‍ Докажите, что из отрезков, длины которых равны произведениям длин противоположных рёбер тетраэдра, можно составить прямоугольный треугольник.
Задача М1105
После нескольких прямолинейных разрезов поверхность выпуклого многогранника развернули на плоскость. Получился многоугольник, для которого известно, какие точки его границы «склеиваются», т. е. отвечают одной и той же точке на поверхности многогранника. Каким был исходный многогранник, если при…
Задача Ф1113
Текст задачи готовится
Задача Ф1114
Текст задачи готовится
Задача Ф1115
Текст задачи готовится
Задача Ф1116
Текст задачи готовится
Задача Ф1117
Текст задачи готовится

Решения задач М1081‍—‍М1085; Ф1093‍—‍Ф1096 Решения задач М1081—М1085; Ф1093—Ф1096 // Квант. — 1988. — № 5. — С. 34—39.

Задача М1081
Докажите, что предпоследняя цифра числа $3^n$‍‍ при любом натуральном $n\gt2$‍‍ чётна.
Задача М1082
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$‍‍ диагонали пересекаются в точке $O$‍.‍ Докажите, что равенство $$ AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(AO^2+BO^2+CO^2+DO^2) $$ выполнено тогда и только тогда, когда либо диагонали $AC$‍‍ и $BD$‍‍ перпендикулярны, либо одна из них делится точкой…
Задача М1083
Наибольшее из неотрицательных чисел $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_n$‍‍ равно $a$‍.‍
1. Докажите неравенство $$ \frac{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2}n\le\left(\frac{a_1+a_2+\ldots+a_n}{n}\right)^2+\frac{a^2}4 $$
2. Когда в нём достигается равенство?
Задача М1084
Две окружности на плоскости пересекаются в точках $A$‍‍ и $B$‍.‍ Докажите, что можно выбрать такую точку $C$‍,‍ что любая окружность с хордой $AC$‍‍ будет пересекать данные окружности (второй раз) в точках, одинаково удалённых от…
Задача М1085
Несколько попарно скрещивающихся прямых, расположенных в пространстве, проектируются на горизонтальную плоскость. Их проекции изображены так, чтобы в точках пересечения было видно, какая точка расположена выше, а какая ниже. Может ли получиться проекция, изображённая на рисунке 1,…
Задача Ф1093
Текст задачи готовится
Задача Ф1094
Текст задачи готовится
Задача Ф1095
Текст задачи готовится
Задача Ф1096
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1988. — № 5. — С. 29—31, 34—39.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1988
Номер: 5
Страницы: 29—31, 34—39
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1988. — № 5. — С. 29‍—‍31, 34‍—‍39.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1988/5/zadachnik_kvanta-9cbba63f/
Полный текст: опубликован 06.02.2026

Задачник «Кванта» (1988, № 5)Задачник «Кванта» // Квант. — 1988. — № 5. — С. 29‍—‍31, 34‍—‍39.‍‍

Изображения страниц

Задачи М1101‍—‍М1105; Ф1113‍—‍Ф1117 Задачи М1101—М1105; Ф1113—Ф1117 // Квант. — 1988. — № 5. — С. 29—31, 34.

Решения задач М1081‍—‍М1085; Ф1093‍—‍Ф1096 Решения задач М1081—М1085; Ф1093—Ф1096 // Квант. — 1988. — № 5. — С. 34—39.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1988. — № 5. — С. 29—31, 34—39.