Задача М1085‍‍‍

a) Ответ: нет. Допустим, что требуемое расположение (рис. 1, а) существует. Ясно, что прямую 1 можно опустить в вертикальной плоскости, не задевая прямую 3, так, чтобы она пересекла прямые 2 и 4, затем аналогично опустить прямую 3 так, чтобы она пересекла прямые 1 и 4 и, наконец, повернуть прямую 2 в вертикальной плоскости вокруг точки её пересечения с прямой 1 так, чтобы она пересекла прямую 3. При этом прямая 2 по-прежнему будет проходить под прямой 4 (рис. 2). Но в то же время прямые 2 и 4 должны пересекаться, так как каждая из них пересекает прямые 1 и 3, и следовательно, все четыре прямые должны лежать в одной плоскости. Противоречие.

б) Ответ: нет. Снова допустим, что рассматриваемая конфигурация возможна. Обозначим прямые через $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍,‍ $l_1$‍,‍ $l_2$‍‍ и $l_3$‍‍ (см. рис. 1, б). Передвигая их в вертикальных плоскостях, как в пункте а), мы можем добиться, чтобы каждая из прямых $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ пересекала каждую из прямых $l_1$‍,‍ $l_2$‍,‍ а $l_3$‍‍ пересекалась с $a$‍‍ и $b$‍‍ (рис. 3). Пусть $A_1$‍,‍ $A_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $C_2$‍‍ — точки пересечения прямых $a$‍‍ и $l_1$‍,‍ $a$‍‍ и $l_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $c$‍‍ и $l_2$‍;‍ теми же буквами обозначаются и изображения этих точек на нашей картинке. Спроектируем всю конфигурацию на вертикальную плоскость $\lambda$‍,‍ содержащую прямую $l_3$‍,‍ вдоль прямой $c$‍‍ (рис. 4). Прямая $c$‍‍ при этом проектируется в точку $C$‍.‍ Докажем, что эта точка лежит на прямой $l_3$‍‍ — это бы означало, что $c$‍‍ и $l_3$‍‍ пересекаются, и противоречило предположению. Вертикальные плоскости, содержащие прямые $a$‍,‍ $b$‍‍ и $c$‍,‍ параллельны (так как $a\parallel b\parallel c$‍‍ на рисунках 1, б и 3), поэтому и проекции $a$‍‍ и $b$‍‍ вдоль $c$‍‍ параллельны. Кроме того, на рисунке 3 $A_1A_2:A_2A_3=B_1B_2:B_2B_3$‍,‍ следовательно, это верно и для самой конфигурации, а значит, и для рисунка 4 (при параллельной проекции отношения длин параллельных отрезков сохраняются). Отсюда очевидно следует, что на рисунке 4 прямая $A_3B_3$‍‍ проходит через точку $C$‍,‍ что и требовалось доказать.

в) Ответ: да. Если мы сумеем построить конфигурацию, проекция которой показана на рисунке 5, то, чуть-чуть приподняв (параллельным переносом) прямую 6, опустив прямую 5, а за ней — прямые 1 и 2, получим рисунок 1, в. Возьмём в качестве прямых 1, 2, 3 и 4 диагонали боковых граней куба (рис. 6), прямую 5 проведём через середины диагоналей 1 и 2, а прямую 6 проведём через точки на диагоналях 3 и 4, расположенные чуть ниже их середин. Проекция этих прямых на основание куба даёт рисунок 5.

Предлагаем читателям придумать по возможности более общие условия существования конфигураций скрещивающихся прямых, заданных их проекциями. Это интересная, но, видимо, довольно трудная задача на исследование.