«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Задачи М1071—М1075 предлагались в 1987 году на Ленинградской городской олимпиаде.
На доске нарисовано поле для игры в «цифры»: $$ ((((((((( \_\_ * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_ ) * \_\_) $$ Двое играющих ходят по очереди. Первый игрок начальным ходом записывает на месте первого (самого левого) пробела $( \_\_ )$ какую-нибудь цифру. Каждый дальнейший ход состоит в том, чтобы записать цифру на месте очередного…
Разложите на простые множители число $989 \cdot 1001 \cdot 1007 +320$.
В шестиугольнике $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ нашлась точка $O$, из которой все стороны видны под углом $60^\circ$. Докажите, что если $OA_1\gt OA_3\gt OA_5$ и $OA_2\gt OA_4\gt OA_6$, то $$ A_1A_2+A_3A_4+A_5A_6\lt A_2A_3+A_4A_5+A_6A_1. $$
Дана стопка из $2n+1$ карточек, с которой разрешается производить следующие две операции:
Найдите наибольшее натуральное число, в десятичной записи которого каждая цифра (кроме крайних) строго меньше полусуммы двух соседних с ней цифр.
Текст задачи готовится
В левый нижний угол шахматной доски $8\times8$ клеток поставлено в форме квадрата $3\times3$ девять фишек. Фишка может перепрыгнуть через любую другую фишку, симметрично отразившись от неё, если соответствующее поле свободно. Можно ли несколькими такими ходами собрать все фишки в…
Докажите, что из $n$ четырёхугольников, отсекаемых от выпуклого $n$-угольника диагоналями, не более $n/2$ могут оказаться описанными около окружности. Приведите пример 8-угольника, у которого таких четырёхугольников 4.
Докажите, что в последовательности чисел Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, $\ldots$, где каждое число равно сумме двух предыдущих, при $m\gt3$ встретится не менее 4 и не более 5 $m$-значных чисел.
Докажите, что шесть точек попарного касания четырёх сфер всегда лежат на одной сфере или на одной плоскости.
На окружности имеется 21 точка. Докажите, что среди дуг с концами в этих точках не менее 100 дуг, не превосходящих $120^\circ$.
