Задачник «Кванта» / Квант. — 1986. — № 10 / 1986 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1986. — № 10. — С. 28—31, 34—41.

Задачи Ф1018‍—‍Ф1022 предлагались на заключительном этапе ХХ Всесоюзной олимпиады по физике.

Открыть в номере

Задачи М1006‍—‍М1010; Ф1018‍—‍Ф1022 Задачи М1006—М1010; Ф1018—Ф1022 // Квант. — 1986. — № 10. — С. 28—31.

Задача М1006
Через две вершины треугольника проведены две прямые, разбивающие его на три треугольника и четырёхугольник.
1. Могут ли площади всех четырёх частей быть равными?
2. Какие три из этих частей могут иметь равные площади? Во сколько раз отличается от них…
Задача М1007
Докажите, что треугольники с длинами сторон $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ и $a_1$‍,‍ $b_1$‍,‍ $c_1$‍‍ подобны, если и только если $$ \sqrt{aa_1}+\sqrt{bb_1}+\sqrt{cc_1}=\sqrt{(a_1+b_1+c_1)(a+b+c)}.$$
Задача М1008
Лестница состоит из $2n+1$‍‍ ступеней. На $n$‍‍ нижних ступенях лежит по одному камню. Двое по очереди таскают камни. Первый может переложить любой камень вверх на первую свободную ступеньку, а второй — переложить камень на одну ступеньку вниз, если она свободна. Цель…
Задача М1009
Биссектриса угла $A$‍‍ параллелограмма $ABCD$‍‍ пересекает прямые $BC$‍‍ и $CD$‍‍ в точках $K$‍‍ и $L$‍‍ соответственно. Докажите, что центр окружности, проведённой через точки $C$‍,‍ $K$‍‍ и…
Задача М1010
Последовательность $r_1$‍,‍ $r_2$‍,‍ $r_3$‍,‍ $\ldots$‍‍ определяется условиями $$ r_1=2,\quad r_{n+1}=r_1r_2\ldots r_n+1, $$ так что $r_2=3$‍,‍ $r_3=7$‍,‍ $r_4=43$‍,‍ $\ldots$‍‍
1. Докажите, что при любом…
Задача Ф1018
Текст задачи готовится
Задача Ф1019
Текст задачи готовится
Задача Ф1020
Текст задачи готовится
Задача Ф1021
Текст задачи готовится
Задача Ф1022
Текст задачи готовится

Решения задач М986‍—‍М990; Ф998‍—‍Ф1002 Решения задач М986—М990; Ф998—Ф1002 // Квант. — 1986. — № 10. — С. 34—41.

Задача М986
Докажите, что для любых положительных чисел $a$‍‍ и $b$‍‍ выполняется неравенство $$ 2\sqrt{a\vphantom b}+3\sqrt[\scriptstyle3~]{b}\ge5\sqrt[\scriptstyle5~]{ab}. $$
Задача М987
В турнире участвуют $2m$‍‍ команд. В первом туре встретились некоторые $m$‍‍ пар команд, во втором — другие $m$‍‍ пар. Докажите, что после этого можно выбрать $m$‍‍ команд, никакие две из которых ещё не играли между собой.
Задача М988
Из одной точки $O$‍‍ на плоскости проведено $n$‍‍ векторов единичной длины. Докажите, что если для некоторого $k\lt\dfrac{n}{2}$‍‍ по обе стороны от каждой прямой, проходящей через $O$‍,‍ лежит не менее $k$‍‍ векторов, то длина суммы всех…
Задача М989
Найдите все натуральные числа $a$‍,‍ для которых число $a-1$‍‍ является суммой
1. двух;
2. трёх
делителей числа $a$‍‍ (не обязательно различных; в число…
Задача М990
В пространстве заданы три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости. Сколько существует различных параллелепипедов, у которых эти три прямые
1. проходят по рёбрам?
2. проходят по рёбрам или диагоналям граней?
3. содержат…
Задача Ф998
Текст задачи готовится
Задача Ф999
Текст задачи готовится
Задача Ф1000
Текст задачи готовится
Задача Ф1001
Текст задачи готовится
Задача Ф1002
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1986. — № 10. — С. 28—31, 34—41.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1986
Номер: 10
Страницы: 28—31, 34—41
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1986. — № 10. — С. 28‍—‍31, 34‍—‍41.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1986/10/zadachnik_kvanta-d0691613/
Полный текст: опубликован 03.02.2026

Задачник «Кванта» (1986, № 10)Задачник «Кванта» // Квант. — 1986. — № 10. — С. 28‍—‍31, 34‍—‍41.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1986. — № 10. — С. 28—31, 34—41.

Задачи М1006‍—‍М1010; Ф1018‍—‍Ф1022 Задачи М1006—М1010; Ф1018—Ф1022 // Квант. — 1986. — № 10. — С. 28—31.

Решения задач М986‍—‍М990; Ф998‍—‍Ф1002 Решения задач М986—М990; Ф998—Ф1002 // Квант. — 1986. — № 10. — С. 34—41.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1986. — № 10. — С. 28—31, 34—41.