Задачник «Кванта» / Квант. — 1983. — № 8 / 1983 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Задачи М816‍—‍М820; Ф828‍—‍Ф832 Задачи М816—М820; Ф828—Ф832 // Квант. — 1983. — № 8. — С. 46—50.

Задача М816
Натуральные числа $a$‍‍ и $b$‍‍ получаются друг из друга перестановкой цифр. Докажите, что
1. суммы цифр чисел $2a$‍‍ и $2b$‍‍ равны;
2. суммы цифр чисел $a/2$‍‍ и $b/2$‍‍ равны…
Задача М817
Точка $K$‍‍ лежит на стороне $BC$‍‍ треугольника $ABC$‍.‍ Докажите, что соотношение $$ |AK|^2=|AB|\cdot|AC|-|KB|\cdot|KC| $$ выполнено тогда и только тогда, когда $|AB|=|AC|$‍‍ или $\widehat{BAK}=\widehat{CAK}$‍.‍
Задача М818
Пусть какие-то $k$‍‍ вершин правильного $n$‍‍-угольника закрашены синим цветом (остальные вершины — чёрные). Будем называть множество закрашенных вершин равномерным, если при любом $m$‍‍ количества синих вершин в любых двух наборах из…
Задача М819
В Швамбрании $n$‍‍ городов, каждые два из которых соединены дорогой. (Дороги сходятся лишь в городах, все пересечения организованы в разных уровнях.) Злой волшебник намеревается установить на каждой дороге одностороннее движение так, что, выехав из любого города, в него уже нельзя…
Задача М820
1. Правильный восьмиугольник разрезан на конечное число параллелограммов. Докажите, что среди них есть хотя бы два прямоугольника.
2. Правильный $4k$‍‍-угольник разрезан на конечное число параллелограммов. Докажите, что среди них есть хотя…
Задача Ф828
[MISSING TEXT]
Задача Ф829
[MISSING TEXT]
Задача Ф830
[MISSING TEXT]
Задача Ф831
[MISSING TEXT]
Задача Ф832
[MISSING TEXT]

Решения задач М801‍—‍М805; Ф813‍—‍Ф817 Решения задач М801—М805; Ф813—Ф817 // Квант. — 1983. — № 8. — С. 50—55.

Задача М801
Докажите, что для любого натурального $n$‍‍ выполнено равенство $$ [\sqrt{n}]+[\sqrt[3]{n}]+[\sqrt[4]{n}]+\ldots+[\sqrt[n]{n}]=[\log_2{n}]+[\log_3{n}]+[\log_4{n}]+\ldots+[\log_n{n}] $$ ($[x]$‍‍ означает целую часть числа $x$‍).‍
Задача М802
На сторонах $AB$‍‍ и $BC$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ как на гипотенузах построены вне его прямоугольные треугольники $APB$‍‍ и $BQC$‍‍ с одинаковыми углами величины $\beta$‍‍ при их общей вершине $B$‍‍ (см. рис. 1).…
Задача М803
Сумма двух рациональных чисел $x$‍‍ и $y$‍‍ — натуральное число, сумма обратных к ним чисел $\dfrac1x$‍‍ и $\dfrac1y$‍‍ — тоже натуральное число. Какими могут быть $x$‍‍ и $y$‍?‍
Задача М804
Точка $O$‍‍ — середина оси прямого кругового цилиндра, $A$‍‍ и $B$‍‍ — диаметрально противоположные точки окружности нижнего основания цилиндра, $C$‍‍ — некоторая точка окружности верхнего основания, не лежащая в плоскости $OAB$‍.‍…
Задача М805
1. На сторонах $BC$‍,‍ $CA$‍,‍ $AB$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ выбраны соответственно точки $A_1$‍,‍ $B_1$‍,‍ $C_1$‍‍ так, что отрезки $AA_1$‍,‍ $BB_1$‍‍ и $CC_1$‍‍…
Задача Ф813
[MISSING TEXT]
Задача Ф814
[MISSING TEXT]
Задача Ф815
[MISSING TEXT]
Задача Ф816
[MISSING TEXT]
Задача Ф817
[MISSING TEXT]

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1983. — № 8. — С. 46—55.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1983
Номер: 8
Страницы: 46—55
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1983. — № 8. — С. 46‍—‍55.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1983/8/zadachnik_kvanta-b2a5e175/
Полный текст: опубликован 27.10.2025

Задачник «Кванта» (1983, № 8)Задачник «Кванта» // Квант. — 1983. — № 8. — С. 46‍—‍55.‍‍

Изображения страниц

Задачи М816‍—‍М820; Ф828‍—‍Ф832 Задачи М816—М820; Ф828—Ф832 // Квант. — 1983. — № 8. — С. 46—50.

Решения задач М801‍—‍М805; Ф813‍—‍Ф817 Решения задач М801—М805; Ф813—Ф817 // Квант. — 1983. — № 8. — С. 50—55.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1983. — № 8. — С. 46—55.