«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Медиана $BK$ и биссектриса $CL$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$. Докажите равенство $$ \dfrac{|PC|}{|PL|}-\dfrac{|AC|}{|BC|}=1. $$
Обозначим через $d_k$ количество таких домов в вашем городе, в которых живёт не меньше $k$ жителей $(d_1\ge d_2\ge d_3\ge \ldots)$, и через $c_m$ — количество жителей в $m$-м по величине населения доме $(c_1\ge c_2\ge c_3\ge \ldots)$. Докажите равенства
Докажите, что
Серёжа насыпал в цилиндрическую кастрюлю немного пшена и спросил соседку тётю Люду: «Сколько нужно налить воды, чтобы получилась вкусная каша?» — «Это очень просто, — отвечала соседка. — Наклони кастрюлю — вот так; постучи, чтобы крупа пересыпалась и закрыла ровно половину дна. Теперь заметь…
Можно ли таблицу $10 \times 10$ клеток заполнить 100 различными натуральными числами так, чтобы для любого квадрата $k \times k$ клеток ($2 \le k \le 10$)
$k$ чисел на его…
Назовём пузатостью прямоугольника отношение его меньшей стороны к большей (пузатость квадрата равна 1). Докажите, что, как бы ни разрезать квадрат на прямоугольники, сумма их пузатостей будет не меньше 1.
На сторонах $a$, $b$, $c$, $d$ вписанного в окружность четырёхугольника «наружу» построены прямоугольники размерами $a\times c$, $b\times d$, $c\times a$, $d\times b$. Докажите, что центры этих прямоугольников…
Полукруг с диаметром $AB$ разрезан отрезком $CD$, перпендикулярным $AB$, на два криволинейных треугольника $ACD$ и $BCD$, в которые вписаны окружности, касающиеся $AB$ в точках $E$ и $F$…
Можно ли множество всех конечных десятичных дробей разбить на а) два, б) три класса так, чтобы в один класс не попали два числа с разностью $10^m$ (ни при каком целом $m=0$, $\pm1$, $\pm2$, $\ldots$)?
