«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
На диагоналях $AC$ и $CE$ правильного шестиугольника $ABCDEF$ взяты точки $M$ и $N$ соответственно, такие что $$ \frac{|AM|}{|AC|} = \frac{|CN|}{|CE|}=\lambda. $$ Известно, что точки $B$, $M$ и $N$ лежат на одной…
Дано уравнение $x^3-3xy^2+y^3=n$. Докажите, что
Дан неравнобедренный треугольник $A_1A_2A_3$. Пусть $a_i$ — его сторона, лежащая против вершины $A_i$ ($i=1$, 2, 3), $M_i$; — середина стороны $a_i$, $T_i$ — точка касания стороны с окружностью, вписанной в данный…
Рассматриваются последовательности $\{x_n\}$ положительных чисел, удовлетворяющих условию $$ 1=x_0 \ge x_1\ge x_2\ge\ldots\ge x_n\ge\ldots $$
Докажите, что, как бы ни раскрасить клетки бесконечного листа клетчатой бумаги в $N$ цветов, найдутся
На окружности отмечены $3k$ точек, разделяющих её на $3k$ дуг, из которых $k$ дуг имеют длину $1$, ещё $k$ дуг — длину $2$, и остальные $k$ дуг — длину $3$. Докажите, что среди…
Квадратная таблица $n\times n$ клеток заполнена целыми числами. При этом в клетках, имеющих общую сторону, записаны числа, отличающиеся одно от другого не больше, чем на 1. Докажите, что хотя бы одно число встречается в таблице:
Числа $a$, $b$, $c$ лежат на интервале $\left(0,\dfrac\pi2\right)$ и удовлетворяют равенствам: $$ \begin{align*} \cos a&=a,\\ \sin\cos b&=b,\\ \cos\sin c&=c. \end{align*} $$ Расположите эти числа в порядке возрастания.
Внутри тетраэдра выбрана точка $M$. Докажите, что хотя бы одно ребро тетраэдра видно из точки $M$ под углом, косинус которого не больше, чем $-\dfrac{1}{3}$.
В стране, кроме столицы, больше 100 roродов. Столица страны соединена авиалиниями со 100 городами; каждый из остальных городов соединён авиалиниями ровно с 10 городами. Известно, что из любого города можно (быть может, с пересадками) перелететь в любой другой. Докажите, что можно закрыть…
Из последовательности 1, $\dfrac12$, $\dfrac13$, $\dfrac14$, $\dots$ нетрудно выделить арифметическую прогрессию длины три: $\dfrac12$, $\dfrac13$, $\dfrac16$. Можно ли из этой последовательности выбрать арифметическую прогрессию
Какое наименьшее количество чисел необходимо вычеркнуть из последовательности 1, 2, 3, $\dots$, 1982, чтобы ни одно из оставшихся чисел не равнялось произведению двух других оставшихся чисел?
