«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AK$. Известно, что центры окружностей: вписанной в треугольник $ABK$ и описанной около треугольника $ABC$ — совпадают. Найдите углы треугольника $ABC$.
В мастерской имеется пять различных станков. Обучение одного рабочего работе на одном станке стоит 1000 рублей. С какими наименьшими затратами можно обучить 8 рабочих так, чтобы при отсутствии любых трёх из них все станки могли быть одновременно использованы в работе? Каждый рабочий может…
Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$, $BC$ и $AC$ в точках $M$, $N$ и $P$ соответственно. Известно, что $$\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{0}.$$ Докажите, что треугольник $ABC$…
Функция $f(x)$, определённая на отрезке $[0;1]$, такова, что $$ f(0)=f(1)=0\tag1 $$ и $$ f\left(\frac{x+y}{2}\right)\le f(x)+f(y)\tag2 $$ для всех $x$, $y\in[0;1]$. Докажите, что:
При каких натуральных $n\ge3$ существуют различные натуральные числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$, такие, что $1\le a_k\le n+1$ для любого $k=1$, 2, $\ldots$, $n$ и все $n$ чисел…
Текст задачи готовится
Бумажный квадрат складывается пополам по некоторой прямой $l$, проходящей через его центр, в (невыпуклый) девятиугольник.
