Задачник «Кванта» / Квант. — 1981. — № 7 / 1981 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Задачи М691‍—‍М695; Ф703‍—‍Ф707 Задачи М691—М695; Ф703—Ф707 // Квант. — 1981. — № 7. — С. 19—20.

Задача М691
Будем говорить, что число обладает свойством $(K)$‍,‍ если оно разлагается в произведение $K$‍‍ последовательных натуральных чисел, больших 1.
1. Найдите $K$‍‍ такое, для которого некоторое число $N$‍‍…
Задача М692
Точки $C_1$‍,‍ $A_1$‍,‍ $B_1$‍‍ взяты на сторонах, соответственно, $AB$‍,‍ $BC$‍,‍ $CA$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ так, что $$ |AC_1|:|C_1B|=|BA_1|:|A_1C|=|CB_1|:|B_1A|=1:3. $$ Докажите, что периметр $P$‍‍ треугольника $ABC$‍‍ и…
Задача М693
В некотором посёлке 1000 жителей. Ежедневно каждый из них делится узнанными вчера новостями со всеми своими знакомыми. Известно, что любая новость становится известной всем жителям посёлка. Докажите, что можно выбрать 90 жителей так, что если одновременно всем им сообщить какую-то…
Задача М694
В каждой вершине куба записано число. За один шаг к двум числам, размещённым на одном (любом) ребре, прибавляется по единице. Можно ли за несколько таких шагов сделать все восемь чисел равными между собой, если вначале были поставлены числа, как на рисунке 1? Как на рисунке 2? Как на рисунке…
Задача М695
Можно ли все клетки какой-нибудь прямоугольной таблицы окрасить в белый и чёрный цвета так, чтобы белых и чёрных клеток было поровну, а в каждой строке и в каждом столбце было более $\dfrac34$‍‍ клеток одного цвета?
Задача Ф703
[MISSING TEXT]
Задача Ф704
[MISSING TEXT]
Задача Ф705
[MISSING TEXT]
Задача Ф706
[MISSING TEXT]
Задача Ф707
[MISSING TEXT]

Решения задач М645‍—‍М655; Ф663‍—‍Ф667 Решения задач М645—М655; Ф663—Ф667 // Квант. — 1981. — № 7. — С. 21—32.

Задача М645
В подвале три коридора (рисунок 1: $|OA|=|OB|=|OC|=l$‍),‍ все выходы из которых закрыты. В нём находятся инспектор Варнике и преступник. Варнике замечает преступника, если расстояние между ними не превосходит $r$‍.‍ Он знает, что максимальная скорость преступника в два раза меньше его…
Задача М646
От точки $O$‍‍ на плоскости отложены $2n$‍‍ векторов длины 1. Они раскрашены попеременно в красный и синий цвета. Пусть $\overrightarrow{s}$‍‍ — сумма $n$‍‍ красных векторов, $\overrightarrow{r}$‍‍ — сумма $n$‍‍ синих векторов. Докажите,…
Задача М647
Докажите, что при любых $a\ge\dfrac12$‍,‍ $b\ge\dfrac12$‍‍ справедливо неравенство$$ \left(\dfrac{a^2-b^2}{2}\right)^2\ge\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}-\dfrac{a+b}{2}.$$
Задача М648
Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то середины его сторон и основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения его диагоналей на стороны, лежат на одной окружности.
Задача М649
[MISSING TEXT]
Задача М650
Существует ли последовательность
$$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \ldots,\ a_n, ...$$
1. натуральных чисел такая, что любое натуральное число единственным образом записывается в виде суммы нескольких её членов: $$ a_{i_1}+a_{i_k}\quad(i_1 \lt \ldots \lt i_k,\ k\ge 0); \tag{*} $$
2. натуральных чисел такая, что 1 нe представляется в…
Задача М651
Дама сдавала в багаж диван, чемодан, саквояж, корзину, картину, картонку и маленькую собачонку. Диван весил столько же, сколько чемодан и саквояж, вместе взятые, и столько же, сколько картина, корзина и картонка, вместе взятые. Картина, корзина и картонка весили поровну и каждая из них — больше,…
Задача М652
Женя разрезал выпуклый картонный многогранник на грани (по рёбрам) и послал этот набор граней по почте Вите. Витя склеил из всех этих граней выпуклый многогранник. Может ли случиться так, что многогранники Жени и Вити не конгруэнтны?
Задача М653
Имеется линейка с двумя делениями (рис. 1). С помощью линейки можно проводить произвольные прямые и откладывать отрезки определённой длины. Постройте с её помощью
1. какой-нибудь прямой угол;
2. прямую,…
Задача М654
Верно ли такое утверждение: из любых шести натуральных чисел можно выбрать три числа, каждые два из которых не имеют общих делителей, бо́льших 1, или три числа, имеющие общий делитель, больший 1?
Задача М655
На столе у чиновника Министерства околичностей лежит $n$‍‍ томов Британской энциклопедии, сложенных в несколько стопок. Каждый день, придя на работу, чиновник берёт из каждой стопки по одному тому и складывает взятые тома в новую стопку, затем располагает стопки по количеству томов…
Задача Ф663
[MISSING TEXT]
Задача Ф664
[MISSING TEXT]
Задача Ф665
[MISSING TEXT]
Задача Ф666
[MISSING TEXT]
Задача Ф667
[MISSING TEXT]

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1981. — № 7. — С. 19—32.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1981
Номер: 7
Страницы: 19—32
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1981. — № 7. — С. 19‍—‍32.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1981/7/zadachnik_kvanta-ff2a03f4/
Полный текст: опубликован 19.10.2025

Задачник «Кванта» (1981, № 7)Задачник «Кванта» // Квант. — 1981. — № 7. — С. 19‍—‍32.‍‍

Изображения страниц

Задачи М691‍—‍М695; Ф703‍—‍Ф707 Задачи М691—М695; Ф703—Ф707 // Квант. — 1981. — № 7. — С. 19—20.

Решения задач М645‍—‍М655; Ф663‍—‍Ф667 Решения задач М645—М655; Ф663—Ф667 // Квант. — 1981. — № 7. — С. 21—32.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1981. — № 7. — С. 19—32.