«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Внутри треугольника $\triangle$ нужно расположить треугольник $\triangle_1$ так, чтобы у каждого из трёх квадратов, построенных на сторонах треугольника $\triangle_1$, две вершины лежали на разных сторонах треугольника $\triangle$ (рис. 1).
Несколько кружков одинакового размера положили на стол так, что никакие два не перекрываются. Докажите, что кружки можно раскрасить в четыре цвета так, что любые два касающихся кружка будут окрашены в разные цвета. Найдите расположение кружков, при котором трёх цветов для такой раскраски…
Двое играют в следующий вариант «морского боя». Один игрок располагает на доске $n\times n$ некоторое количество непересекающихся «кораблей» $n\times 1$ (быть может, ни одного). Второй игрок наносит одновременно ряд ударов по полям доски и про каждое поле получает от противника…
Два подмножества множества натуральных чисел назовём конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (непересекающихся) бесконечных…
Множество $A$ состоит из целых чисел, его наименьший элемент равен 1, а наибольший элемент равен 100. Каждый элемент $A$, кроме 1, равен сумме двух (возможно, равных) чисел, принадлежащих $A$. Укажите среди всех множеств $A$,…
Дан правильный треугольник $ABC$. Некоторая прямая, параллельная прямой $AC$, пересекает прямые $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $P$ соответственно. Точка $D$ — центр треугольника $PMB$, точка…
Некоторые клетки бесконечного листа клетчатой бумаги окрашены в красный цвет, остальные в синий, причём так, что каждый прямоугольник из 6 клеток размером $2 \times 3$ содержит в точности две красные клетки. Сколько красных клеток может содержать прямоугольник из 99 клеток размером…
В тетраэдре $ABCD$ $(AC) \perp (BC)$ и $(AD) \perp (BD)$. Докажите, что косинус угла между прямыми $AC$ и $BD$ меньше, чем $\dfrac{|CD|}{|AB|}$.
