«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Диагонали выпуклого четырёхугольника $ABCD$, вписанного в окружность с центром $O$, взаимно перпендикулярны. Докажите, что ломаная $AOC$ делит четырёхугольник на две части равной площади.
Докажите, что любое положительное число можно представить в виде суммы девяти чисел, десятичные записи которых содержат только цифры 0 и 7.
$M$ — множество точек на плоскости. Точка $O$ плоскости называется «почти центром симметрии» множества $M$, если из $M$ можно выбросить одну точку такую, что для оставшегося множества $O$ является центром симметрии в…
$N$ друзей одновременно узнали $N$ новостей, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. За один разговор можно передать сколько угодно новостей. Какое минимальное количество звонков необходимо, чтобы все узнали все…
Прямой угол разбит на клетки (рис. 1). На некоторых клетках стоят фишки, причём расположение фишек можно преобразовывать так: если для некоторой фишки соседняя сверху и соседняя справа клетки свободны, то в эти клетки ставится по фишке, а старая фишка убирается. Вначале в угловую клетку ставится…
Во вписанном четырёхугольнике одна диагональ делит вторую пополам. Докажите, что квадрат длины первой диагонали равен половине суммы квадратов длин всех сторон четырёхугольника.
Пусть $a$ — натуральное число такое, что $2^a-2$ делится на $a$ (например, $a=3$). Определим последовательность $(x_n)$ условиями $$ x_1=a,\quad x_{k+1}=2^{x_k}-1 $$ Докажите, что $2^{x_k}-2$ делится на $x_k$ при любом…
На плоскости в вершинах треугольника лежат три шайбы $A$, $B$, $C$. Хоккеист выбирает одну из них и бьёт по ней так, что она проходит между двумя другими и останавливается в какой-то точке.
На сторонах $BC$, $AC$ и $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ взяты точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ coответственно. Известно, что центр описанной около треугольника $ABC$ окружности совпадает с…
