«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Во вписанном четырёхугольнике одна диагональ делит вторую пополам. Докажите, что квадрат длины первой диагонали равен половине суммы квадратов длин всех сторон четырёхугольника.
Пусть $a$ — натуральное число такое, что $2^a-2$ делится на $a$ (например, $a=3$). Определим последовательность $(x_n)$ условиями $$ x_1=a,\quad x_{k+1}=2^{x_k}-1 $$ Докажите, что $2^{x_k}-2$ делится на $x_k$ при любом…
На плоскости в вершинах треугольника лежат три шайбы $A$, $B$, $C$. Хоккеист выбирает одну из них и бьёт по ней так, что она проходит между двумя другими и останавливается в какой-то точке.
На сторонах $BC$, $AC$ и $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ взяты точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ coответственно. Известно, что центр описанной около треугольника $ABC$ окружности совпадает с…
