«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Из центра каждой из двух данных окружностей проведены касательные к другой окружности. Докажите, что хорды, соединяющие точки пересечения касательных с окружностями (на рисунке 1 эти хорды показаны красным цветом), имеют одинаковые длины.
Каждый из учеников класса занимается не более чем в двух кружках, причём для любой пары учеников существует кружок, в котором они занимаются вместе. Докажите, что найдётся кружок, где занимаются не менее $\dfrac{2}{3}$ учеников этого класса.
На сторонах выпуклого четырёхугольника площади $S$ вне его построены квадраты, центры которых служат вершинами нового четырёхугольника площади $S_1$. Докажите, что
Пол комнаты, имеющий форму правильного шестиугольника со стороной 10, заполнен плитками, имеющими форму ромба со стороной 1 и острым углом $60^\circ$. Разрешается вынуть три плитки, составляющие правильный шестиугольник со стороной 1, и заменить их расположение другим…
Существует ли последовательность различных натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$, ни один из членов которой не равен сумме нескольких других, такая что (при всех $n=1$, 2, $\ldots$)
Текст задачи готовится
Докажите, что наименьшее общее кратное $n$ натуральных чисел $a_1 \lt a_2 \lt \ldots \lt a_n$ не меньше $na_1$.
Постройте треугольник $ABC$, если заданы его наименьший угол $\widehat A$ и отрезки длины $d=|AB|-|BC|$ и $e=|AC|-|BC|$.
Последовательность $(x_i)$ определяется условиями $$x_1=1,\quad x_2=0,\quad x_3=2,\quad x_{n+1}=x_{n-2}+2x_{n-1}.$$ Докажите, что для любого натурального $m$ найдутся два соседних члена этой последовательности, каждый из которых делится на $m$.
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Докажите, что
Дано несколько точек, некоторые пары которых соединены линиями (точки таких пар называются соседями). Число соседей у каждой точки нечётно. В начальный момент все точки раскрашены в два цвета — красный и синий. Затем каждую минуту происходит…
