Задачник «Кванта» / Квант. — 1978. — № 8 / 1978 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1978. — № 8. — С. 33—43.

В этом и следующих номерах «Задачник «Кванта» составлен в основном из задач, предлагавшихся на XII Всесоюзной олимпиаде.

Открыть в номере

Задачи М516‍—‍М520; Ф528‍—‍Ф532 Задачи М516—М520; Ф528—Ф532 // Квант. — 1978. — № 8. — С. 33—35.

Задача М516
Три автомата печатают на карточках пары натуральных чисел. Автоматы работают следующим образом. Первый автомат, прочитав карточку $(a; b)$‍,‍ выдаёт новую карточку $(a+1; b+1)$‍;‍ второй, прочитав карточку $(a; b)$‍,‍ выдаёт карточку $\left(\dfrac a2; \dfrac b2\right)$‍‍ (он работает только, когда…
Задача М517
В окружность радиуса $R$‍‍ вписан $n$‍‍-угольник площадью $S$‍.‍ На каждой стороне $n$‍‍-угольника отмечено по точке. Докажите, что периметр $n$‍‍-угольника с вершинами в отмеченных точках не меньше $\dfrac{2S}R$‍.‍
Задача М518
Числа $x_1$‍,‍ $x_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $x_n$‍‍ принадлежат отрезку $[a;b]$‍,‍ где $0\lt a\lt b$‍.‍ Докажите неравенство $$ (x_1+x_2+\ldots+x_n)\left(\dfrac1{x_1}+\dfrac1{x_2}+\ldots+\dfrac1{x_n}\right)\le \dfrac{(a+b)^2}{4ab}\,n^2. $$
Задача М519
Даны две кучки спичек. Вначале в одной кучке $m$‍‍ спичек, в другой — $n$‍‍ спичек, $m \gt n$‍.‍ Двое игроков по очереди берут из кучки спички. За один ход игрок берёт из одной кучки любое (отличное от нуля) число спичек, кратное числу спичек в другой кучке.…
Задача М520
Рассмотрим последовательность чисел $x_n=(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})^n$‍.‍ Каждое из них приводится к виду $$ x_n=q_n+r_n\sqrt{2}+s_n\sqrt{3}+t_n\sqrt{6}, $$ где $q_n$‍,‍ $r_n$‍,‍ $s_n$‍,‍ $t_n$‍‍ — целые числа. Найдите пределы $$ \lim_{n\to\infty}\dfrac{r_n}{q_n}, \quad \lim_{n\to\infty}\dfrac{s_n}{q_n}, \quad \lim_{n\to\infty}\dfrac{t_n}{q_n}. $$
Задача Ф528
Текст задачи готовится
Задача Ф529
Текст задачи готовится
Задача Ф530
Текст задачи готовится
Задача Ф531
Текст задачи готовится
Задача Ф532
Текст задачи готовится

Решения задач М466‍—‍М469; Ф482‍—‍Ф486 Решения задач М466—М469; Ф482—Ф486 // Квант. — 1978. — № 8. — С. 36—43.

Задача М466
Среди 1977 монет 50 фальшивых. Каждая фальшивая монета отличается от настоящей на 1 г (в ту или другую сторону). Имеются чашечные весы со стрелкой, показывающей разность масс одной и другой чашки. За одно взвешивание про одну выбранную монету нужно узнать, фальшивая она или настоящая. Как это…
Задача М467
Точки $D$‍‍ и $E$‍‍ делят стороны $AC$‍‍ и $AB$‍‍ правильного треугольника $ABC$‍‍ в отношениях $|AD|:|DC|=|BE|:|EA|=1:2$‍.‍ Прямые $BD$‍‍ и $CE$‍‍ пересекаются в точке $O$‍.‍ Докажите, что угол…
Задача М468
Точки $A$‍,‍ $B$‍,‍ $C$‍‍ и $D$‍‍ плоскости таковы, что для любой точки $M$‍‍ этой плоскости скалярные произведения векторов $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}$‍‍ и $\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{MD}$‍‍ не равны друг другу. Докажите, что $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$‍.‍ Верно ли…
Задача М469
1. Уравнение $x^4+ax^3+bx+c=0$‍‍ имеет четыре различных вещественных корня. Докажите, что $ab\lt0$‍.‍
2. Уравнение $x^n+a_1x^{n-1}+\ldots+a_{k-1}x^{n-k+1}+a_{k+1}x^{n-k-1}+\ldots+a_n=0$‍‍ имеет $n$‍‍ различных вещественных корней. Докажите, что…
Задача Ф482
Текст задачи готовится
Задача Ф483
Текст задачи готовится
Задача Ф484
Текст задачи готовится
Задача Ф485
Текст задачи готовится
Задача Ф486
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1978. — № 8. — С. 33—43.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1978
Номер: 8
Страницы: 33—43
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1978. — № 8. — С. 33‍—‍43.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1978/8/zadachnik_kvanta-26460b69/
Полный текст: опубликован 08.03.2026

Задачник «Кванта» (1978, № 8)Задачник «Кванта» // Квант. — 1978. — № 8. — С. 33‍—‍43.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1978. — № 8. — С. 33—43.

Задачи М516‍—‍М520; Ф528‍—‍Ф532 Задачи М516—М520; Ф528—Ф532 // Квант. — 1978. — № 8. — С. 33—35.

Решения задач М466‍—‍М469; Ф482‍—‍Ф486 Решения задач М466—М469; Ф482—Ф486 // Квант. — 1978. — № 8. — С. 36—43.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1978. — № 8. — С. 33—43.