Задачник «Кванта» / Квант. — 1978. — № 12 / 1978 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1978. — № 12. — С. 12, 22—33, 36, 41, 53.

Задачи М537‍—‍М540 предлагались на ХХ Международной математической олимпиаде.

Открыть в номере

Задачи М536‍—‍М540; Ф548‍—‍Ф552 Задачи М536—М540; Ф548—Ф552 // Квант. — 1978. — № 12. — С. 22—23.

Задача М536
1. Докажите, что любой прямоугольник размером $m \times 2n$‍‍ клеток можно замостить двумя слоями костяшек домино (плиток $1 \times 2$‍‍ клетки) так, чтобы каждая плитка верхнего слоя опиралась на две разные плитки нижнего слоя.
2. Прямоугольник размером…
Задача М537
Окружность касается внутренним образом окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника $ABC$‍,‍ а также равных сторон $AB$‍‍ и $AC$‍‍ этого треугольника в точках $P$‍,‍ $Q$‍‍ соответственно. Докажите, что середина отрезка…
Задача М538
Множество всех натуральных чисел является объединением двух непересекающихся подмножеств $\{f(1),f(2),\ldots,f(n),\ldots\}$‍,‍ $\{g(1),g(2),\ldots,g(n),\ldots\}$‍,‍ где $f(1)\lt f(2)\lt\ldots\lt f(n)\lt\ldots$‍,‍ $g(1)\lt g(2)\lt\ldots\lt g(n)\lt\ldots$‍‍ и $g(n)=f(f(n))+1$‍‍ для всех $n\ge1$‍.‍ Определите $f(240)$‍.‍
Задача М539
Пусть $P$‍‍ — данная точка внутри данной сферы и $A$‍,‍ $B$‍,‍ $C$‍‍ — произвольные три точки этой сферы такие, что отрезки $PA$‍,‍ $PB$‍,‍ $PC$‍‍ взаимно перпендикулярны. Пусть $Q$‍‍ — вершина…
Задача М540
Международное общество состоит из представителей шести различных стран. Список членов общества состоит из 1978 фамилий, занумерованных числами 1, 2, $\ldots$‍,‍ 1978.

Докажите, что существует хотя бы один член общества, номер которого равняется сумме номеров двух членов из его…
Задача Ф548
Текст задачи готовится
Задача Ф549
Текст задачи готовится
Задача Ф550
Текст задачи готовится
Задача Ф551
Текст задачи готовится
Задача Ф552
Текст задачи готовится

Решения задач М491‍—‍М493; Ф503, Ф505‍—‍Ф507 Решения задач М491—М493; Ф503, Ф505—Ф507 // Квант. — 1978. — № 12. — С. 24—33.

Задача М491
Рассмотрим геометрическую прогрессию, все члены которой — целые числа. (Например: 16, 24, 36, 54, 81.)
1. Докажите, что сумма квадратов трёх последовательных членов прогрессии делится на сумму этих членов.
2. При каких натуральных $n$‍‍…
Задача М492
В треугольник $ABC$‍‍ вписан треугольник $A_1B_1C_1$‍‍ (так, что вершины $A_1$‍,‍ $B_1$‍‍ и $C_1$‍‍ лежат соответственно на сторонах $BC$‍,‍ $CA$‍‍ и $AB$‍),‍ причём отрезки $AA_1$‍,‍ $BB_1$‍‍ и…
Задача М493
Докажите неравенства $$ 0{,}785n^2-n\lt\sqrt{n^2-1^2}+\sqrt{n^2-2^2}+\ldots+\sqrt{n^2-(n-1)^2}\lt0{,}79n^2. $$
Задача Ф503
Текст задачи готовится
Задача Ф505
Текст задачи готовится
Задача Ф506
Текст задачи готовится
Задача Ф507
Текст задачи готовится

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1978. — № 12. — С. 12, 22—33, 36, 41, 53.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1978
Номер: 12
Страницы: 12, 22—33, 36, 41, 53
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1978. — № 12. — С. 12, 22‍—‍33, 36, 41, 53.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1978/12/zadachnik_kvanta-30105b4d/
Полный текст: опубликован 08.03.2026

Задачник «Кванта» (1978, № 12)Задачник «Кванта» // Квант. — 1978. — № 12. — С. 12, 22‍—‍33, 36, 41, 53.‍‍

Изображения страниц

Текст статьи Задачник «Кванта» // Квант. — 1978. — № 12. — С. 12, 22—33, 36, 41, 53.

Задачи М536‍—‍М540; Ф548‍—‍Ф552 Задачи М536—М540; Ф548—Ф552 // Квант. — 1978. — № 12. — С. 22—23.

Решения задач М491‍—‍М493; Ф503, Ф505‍—‍Ф507 Решения задач М491—М493; Ф503, Ф505—Ф507 // Квант. — 1978. — № 12. — С. 24—33.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1978. — № 12. — С. 12, 22—33, 36, 41, 53.