Возьмём четверть круга единичного радиуса: $O$ — центр круга, $[OA]$ — радиус, $|OA|=1$ (рис. 6). Разделим отрезок $OA$ на $n$ конгруэнтных частей ($n$ — произвольное натуральное число). На получившихся первых $n-1$ отрезках деления (считая от точки $O$) построим по прямоугольнику так, чтобы правые верхние вершины всех прямоугольников лежали на дуге окружности $BA$, ограничивающей нашу «четверть круга» (см. рис. 6). Мы получим $n-1$ прямоугольников, сумма площадей которых меньше площади четверти круга единичного радиуса, т. е. меньше $\dfrac\pi4\lt0{,}79$.
Поскольку эта сумма равна
$$\begin{gathered}
\dfrac1n\sqrt{1-\left(\dfrac1n\right)^2}+\dfrac1n\sqrt{1-\left(\dfrac2n\right)^2}+\ldots
+\dfrac1n\sqrt{1-\left(\dfrac{n-1}{n}\right)^2}=\\
=\dfrac1{n^2}\left(\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-2^2}+\ldots+\sqrt{n^2-(n-1)^2}\right),
\end{gathered}$$
из сказанного следует правое неравенство.
Рис. 6Рис. 7
Чтобы доказать левое неравенство, поступим следующим образом. Построим по прямоугольнику теперь уже на всех отрезках, получившихся при делении $[OA]$ — всего $n$ прямоугольников, причём так, чтобы все левые верхние вершины прямоугольников лежали на дуге $BA$ окружности (рис. 7). Мы получим изображённую на рисунке 7 ступенчатую фигуру, площадь которой уже больше площади четверти круга единичного радиуса, т. е. больше $\dfrac\pi4\gt0{,}785$. Площадь ступенчатой фигуры равна сумме площадей $n$ прямоугольников с основаниями длины $\dfrac1n$ и высотами длины
$$
1,\quad \sqrt{1-\left(\dfrac1n\right)^2},\quad \sqrt{1-\left(\dfrac2n\right)^2},\quad \ldots,\quad \sqrt{1-\left(\dfrac{n-1}{n}\right)^2}
$$
соответственно:
$$
\dfrac1n\left(1+\sqrt{\dfrac{n^2-1}{n^2}}+\sqrt{\dfrac{n^2-2^2}{n^2}}+\ldots+\sqrt{\dfrac{n^2-(n-1)^2}{n^2}}\right).
$$
Итак,
$$
\dfrac1{n^2}\left(n+\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-2^2}+\ldots+\sqrt{n^2-(n-1)^2}\right)\gt0{,}785,
$$
откуда
$$
0{,}785n^2-n \lt \sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-2^2}+\ldots+\sqrt{n^2-(n-1)^2}.
$$
