«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Задачи М537—М540 предлагались на ХХ Международной математической олимпиаде.
Окружность касается внутренним образом окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника $ABC$, а также равных сторон $AB$ и $AC$ этого треугольника в точках $P$, $Q$ соответственно. Докажите, что середина отрезка…
Множество всех натуральных чисел является объединением двух непересекающихся подмножеств $\{f(1),f(2),\ldots,f(n),\ldots\}$, $\{g(1),g(2),\ldots,g(n),\ldots\}$, где $f(1)\lt f(2)\lt\ldots\lt f(n)\lt\ldots$, $g(1)\lt g(2)\lt\ldots\lt g(n)\lt\ldots$ и $g(n)=f(f(n))+1$ для всех $n\ge1$. Определите $f(240)$.
Пусть $P$ — данная точка внутри данной сферы и $A$, $B$, $C$ — произвольные три точки этой сферы такие, что отрезки $PA$, $PB$, $PC$ взаимно перпендикулярны. Пусть $Q$ — вершина…
Международное общество состоит из представителей шести различных стран. Список членов общества состоит из 1978 фамилий, занумерованных числами 1, 2, $\ldots$, 1978.
Докажите, что существует хотя бы один член общества, номер которого равняется сумме номеров двух членов из его…
Текст задачи готовится
Рассмотрим геометрическую прогрессию, все члены которой — целые числа. (Например: 16, 24, 36, 54, 81.)
В треугольник $ABC$ вписан треугольник $A_1B_1C_1$ (так, что вершины $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат соответственно на сторонах $BC$, $CA$ и $AB$), причём отрезки $AA_1$, $BB_1$ и…
Докажите неравенства $$ 0{,}785n^2-n\lt\sqrt{n^2-1^2}+\sqrt{n^2-2^2}+\ldots+\sqrt{n^2-(n-1)^2}\lt0{,}79n^2. $$
