«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В последовательности натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$ каждый член $a_{k+1}$ равен сумме квадратов цифр в десятичной записи числа $a_k$ ($k\ge1$). Докажите, что при любом $a_1$ в этой…
Сечение правильного тетраэдра — четырёхугольник. Докажите, что периметр этого четырёхугольника больше $2a$, но меньше $3a$; где $a$ — длина ребра тетраэдра.
а) Докажите, что отношение радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника к сумме квадратов длин медиан, проведенных из острых углов, не превосходит $1/5$.
б) Найдите наибольшее значение, которое может принимать это отношение.
При каких $n$ существует выпуклый $n$-угольник, который можно разрезать на несколько правильных многоугольников (не обязательно одинаковых)?
Текст задачи готовится
Дано 20 чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{10}$, $b_1$, $b_2$, $\ldots$, $b_{10}$. Докажите, что множество из 100 чисел (не обязательно различных) $a_1+b_1$, $a_1+b_2$, $\ldots$,…
Докажите, что нечётное число, являющееся произведением $n$ различных простых множителей, можно представить в виде разности квадратов двух натуральных чисел ровно $2^{n-1}$ различными способами.
В данный сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей (рис. 1). Для каждой пары окружностей через точку касания проводится касающаяся их прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
