«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Задачи М405, Ф413 и Ф414 предлагались на заключительном туре Х Всесоюзной олимпиады.
Внутри остроугольного треугольника $ABC$ дана точка $P$ такая, что $\widehat{APB}=\widehat{ABC}+60^\circ$, $\widehat{BPC}=\widehat{BAC}+60^\circ$, $\widehat{CPA}=\widehat{CBA}+60^\circ$. Докажите, что точки пересечения продолжений отрезков $AP$, $BP$, $CP$ (за точку $P$) с…
Докажите, что не существует строго возрастающей последовательности целых неотрицательных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\ldots$, для которых при любых $n$ и $m$ выполняется соотношение $$ a_{nm}=a_n+a_m. $$
Докажите, что если в выпуклом многограннике из каждой вершины выходит чётное число рёбер, то в любом сечении его плоскостью, не проходящей ни через одну из его вершин, получится многоугольник с чётным числом сторон.
На полке стоят первые $n$ томов энциклопедии. С ними можно проводить следующую операцию: взять любые три рядом стоящих тома и поставить их между любыми двумя томами, а также в начало или в конец ряда, не меняя при этом порядка этих трёх томов. Можно ли, применив несколько раз…
На шахматной доске размера $99\times99$ отмечена фигура $\mathit\Phi$ (эта фигура будет разной в пунктах а), б) и в)). В каждой клетке фигуры $\mathit\Phi$ сидит жук. В какой-то момент жуки взлетели и сели снова в клетки той же фигуры $\mathit\Phi$; при этом в одну…
Текст задачи готовится
Поделим каждую сторону выпуклого четырёхугольника $ABCD$ на три равные части и соединим отрезками соответствующие точки на противоположных сторонах (рис. 1). Докажите, что площадь «среднего» четырёхугольника в 9 раз меньше площади четырёхугольника $ABCD$.
