«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Из одной бактерии получилось 1000 следующим образом: сначала бактерия разделилась на две, затем одна из двух получившихся бактерий разделилась на две, затем одна из трёх получившихся бактерий разделилась на две и т. д. Докажите, что в некоторый момент существовала такая бактерия, число потомков…
В параллелограмм $P_1$ вписан параллелограмм $P_2$, в который в свою очередь вписан параллелограмм $P_3$, причём стороны $P_3$ параллельны сторонам $P_1$. Докажите, что хотя бы одна сторона параллелограмма $P_3$ по длине…
Дан угол с вершиной $O$. Рассмотрим множество четвёртых вершин $M$ параллелограммов $ONML$, вершины $N$ и $L$ которых лежат на сторонах данного угла, а площадь равна постоянной величине. (Это множество называется…
На каждом ребре выпуклого многогранника поставлена стрелка так, что в каждую вершину многогранника входит и из каждой выходит хотя бы одна стрелка. Докажите, что существуют по крайней мере две грани многогранника, каждую из которых можно обойти по периметру, двигаясь в соответствии с…
На отрезке $0 \le x \le 1$ задана функция $f$. Известно, что эта функция неотрицательна и $f(1) = 1$. Кроме того, для любых двух чисел $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 \ge 0$, $x_2 \ge 0$ и $x_1 + x_2 \le 1$, выполнено…
Найдите наименьшее число вида
где $k$ и $l$ — натуральные числа.
Дан квадрат $ABCD$. Точки $P$ и $Q$ лежат соответственно на сторонах $AB$ и $BC$, причём $BP = BQ$. Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на отрезок…
Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовём точку «особой», если более половины из соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбирается любая особая точка и перекрашивается в другой…
На $n$ карточках, выложенных по окружности, записаны числа, каждое из которых равно $+1$ или $-1$. За какое наименьшее число вопросов можно наверняка определить произведение всех $n$ чисел, если за один вопрос разрешается узнать
