«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Дано $n$ фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не более $\dfrac n2$. Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.
На плоскости заданы три точки, являющиеся соответственно центрами вписанной, описанной и одной из вневписанных окружностей треугольника. Как по этим данным восстановить треугольник?
(Напомним, что вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из сторон…
Вычислите значение $\sqrt{0{,}\smash{\underbrace{11111\ldots11111}_{100}}}\vphantom{\underbrace0_0}$ с точностью
$AB$ и $CD$ — две различные касательные к двум данным шарам ($A$ и $C$ принадлежат поверхности одного шара, $B$ и $D$ — другого). Докажите, что проекции отрезков $AC$ и $BD$ на…
Текст задачи готовится
а) На рисунке 3 изображены шесть точек, которые лежат по три на четырёх прямых. Докажите, что можно 24 разными способами отобразить это множество из шести точек на себя так, чтобы каждые три точки, лежащие на одной прямой, отображались в три точки, также лежащие на одной прямой.
б)…
Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из вещественных чисел
равна 1. Какой
может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10…
Для любого треугольника $ABC$ можно вычислить такую сумму: $$ S = \tg^2 \dfrac{A}{2} + \tg^2 \dfrac{B}{2} + \tg^2 \dfrac{C}{2}. $$
Докажите, что
Рассмотрим последовательности, состоящие из 3000 цифр 1 и 2. В такой последовательности разрешается поменять местами любые две соседние тройки цифр. Две последовательности называются эквивалентными, если одну из них можно перевести в другую несколькими такими перестановками. Сколько всего…
