«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Дано $n$ фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не более $\dfrac n2$. Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.
На плоскости заданы три точки, являющиеся соответственно центрами вписанной, описанной и одной из вневписанных окружностей треугольника. Как по этим данным восстановить треугольник?
(Напомним, что вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из сторон…
Вычислите значение $\sqrt{0{,}\smash{\underbrace{11111\ldots11111}_{100}}}\vphantom{\underbrace0_0}$ с точностью
$AB$ и $CD$ — две различные касательные к двум данным шарам ($A$ и $C$ принадлежат поверхности одного шара, $B$ и $D$ — другого). Докажите, что проекции отрезков $AC$ и $BD$ на…
Текст задачи готовится
Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из вещественных чисел
равна 1. Какой
может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10…
Для любого треугольника $ABC$ можно вычислить такую сумму: $$ S = \tg^2 \dfrac{A}{2} + \tg^2 \dfrac{B}{2} + \tg^2 \dfrac{C}{2}. $$
Докажите, что
Рассмотрим последовательности, состоящие из 3000 цифр 1 и 2. В такой последовательности разрешается поменять местами любые две соседние тройки цифр. Две последовательности называются эквивалентными, если одну из них можно перевести в другую несколькими такими перестановками. Сколько всего…
