Гиндикин С. Г.

Блез ПаскальГиндикин С. Г. Блез Паскаль : [к 350-летию со дня рождения] // Квант. — 1973. — № 8. — С. 4⁠—⁠18.‍‍

---

Паскаль носил в душе водоворот без дна.
Ш. Бодлер. «Пропасть»‍

19 июня 1973 года исполняется 350 лет со дня рождения Блеза Паскаля — одного из самых знаменитых людей в истории человечества. Паскаль входит в число великих французов, портреты которых воспроизведены на ассигнациях (наряду с Корнелем, Расином, Вольтером и Пастером). Очень внушительно выглядит собрание высказываний великих людей о Паскале, и соблазнительно хотя бы перечислить некоторые из них, но нас останавливает предостережение самого Паскаля: «...когда мы цитируем авторов, мы цитируем их доказательства, а не их имена...». Мы лишь заметим, что разные люди в разные времена воспринимали Паскаля — мыслителя и писателя — как своего современника.

Правильно оценить Паскаля — математика и физика — можно лишь в исторической перспективе. Сегодня об открытиях Паскаля рассказывается на страницах школьных учебников. Для того чтобы понять величие этих открытий, нужно научиться удивляться тому, чему удивлялись его современники. Заодно мы можем заметить, сколь различаются скорости «старения» естественно-научных и гуманитарных открытий.

Упомянем ещё об одной грани наследия Паскаля — его практических достижениях. Некоторые из них удостоились высшего отличия — сегодня мало кто знает имя их автора. Многим ли известно, что самую обыкновенную тачку изобрёл Паскаль (а не безымянный умелец в Древнем Египте или Китае)? А ещё Паскалю принадлежит идея омнибусов — общедоступных карет («за 5 су») с фиксированными маршрутами — первого вида регулярного городского транспорта.

1. Палочки и монетки

Когда мы учимся рисовать графики, то в калейдоскопе безымянных кривых иногда появляются кривые, имеющие какое-то название или носящие чьё-то имя: спираль Архимеда, трезубец Ньютона, конхоида Никомеда, лист Декарта, локон Марии Аньезе, улитка Паскаля (рис. 1)... Редко кто усомнится в том, что это тот же Паскаль, которому принадлежит «закон Паскаля». Однако в названии замечательной кривой 4-го порядка увековечено имя Этьена Паскаля (1588⁠—⁠1651) — отца Блеза Паскаля. Э. Паскаль, как было принято в роде Паскалей, служил в парламенте (суде) города Клермон-Феррана. Совмещение юридической деятельности с занятиями науками, далёкими от юриспруденции, было делом нередким. Примерно в это же время посвящал математике свой досуг советник тулузского парламента Пьер Ферма (1601⁠—⁠1665). Хотя собственные достижения Э. Паскаля были скромными, его основательные познания позволяли ему поддерживать профессиональные контакты с большинством французских математиков.

С великим Ферма он обменивался трудными задачами на построение треугольников; в споре Ферма с Рене Декартом (1596⁠—⁠1650) о задачах на максимум и минимум Паскаль выступал на стороне Ферма. Б. Паскаль унаследовал добрые отношения отца со многими математиками, но вместе с тем к нему перешли и напряжённые отношения с Декартом.

Рано овдовев, Этьен Паскаль посвящает себя главным образом воспитанию своих детей (кроме сына, у него были две дочери — Жильберта и Жаклина). У маленького Блеза очень рано обнаруживается поразительное дарование, но, как это часто бывает, в сочетании с плохим здоровьем. (Всю жизнь с Б. Паскалем случались странные происшествия; в раннем детстве он едва не погиб от непонятной болезни, сопровождавшейся припадками, которую семейная легенда связывает с колдуньей, сглазившей мальчика.)

Этьен Паскаль тщательно продумывает систему воспитания детей. На первых порах он решительно исключает математику из числа предметов, которым обучает Блеза: отец боялся, что увлечённость математикой помешает гармоничному развитию, а неизбежные напряжённые размышления повредят слабому здоровью сына. Однако 12-летний мальчик, узнав о существовании таинственной геометрии, которой занимался отец, уговорил его рассказать немного о запретной науке. Полученных сведений оказалось достаточно для того, чтобы начать увлекательную «игру в геометрию», доказывать теорему за теоремой. В этой игре участвовали «монетки» — круги, «треуголики» — треугольники, «столы» — прямоугольники, «палочки» — отрезки. Мальчик был застигнут отцом в тот момент, когда он обнаружил, что углы треугольника составляют столько же, сколько два угла стола. Э. Паскаль без труда узнал знаменитое 32-е предложение первой книги Евклида — теорему о сумме углов треугольника. Результатом были слёзы на глазах отца и доступ к шкафам с математическими книгами.

История о том, как Паскаль сам построил евклидову геометрию, известна по восторженному рассказу его сестры Жильберты. Этот рассказ породил очень распространённое заблуждение, заключающееся в том, что раз Паскаль открыл 32-е предложение «Начал» Евклида, то он открыл перед этим все предыдущие теоремы и все аксиомы. Нередко это воспринималось как аргумент в пользу того, что аксиоматика Евклида — единственно возможная. На самом же деле, вероятно, геометрия у Паскаля находилась на «доевклидовском» уровне, когда интуитивно неочевидные утверждения доказываются путём сведения к очевидным, причём набор последних никак не фиксируется и не ограничивается. Лишь на следующем, существенно более высоком уровне делается великое открытие, что можно ограничиться конечным сравнительно небольшим набором очевидных утверждений — аксиом, предположив истинность которых можно остальные геометрические утверждения доказать. При этом наряду с неочевидными утверждениями (такими, как, например, теоремы о замечательных точках треугольника) приходится доказывать очевидные теоремы, в справедливость которых легко поверить (например, простейшие признаки равенства треугольников). Собственно 32-е предложение — первое неочевидное в этом смысле предложение «Начал». Нет сомнения, что у юного Паскаля не было ни времени для огромной работы по отбору аксиом, ни, скорее всего, потребности в ней.

Это интересно сопоставить со свидетельством А. Эйнштейна, который в те же 12 лет в значительной степени самостоятельно постигал геометрию (в частности, нашёл доказательство теоремы Пифагора, о которой узнал от дяди): «Вообще мне было достаточно, если я мог в своих доказательствах опираться на такие положения, справедливость которых представлялась мне бесспорной».

Примерно в 10 лет Б. Паскаль сделал первую физическую работу: заинтересовавшись причиной звучания дисковой тарелки и проведя поразительно хорошо организованную серию экспериментов при помощи подручных средств, он объяснил заинтересовавшее его явление колебанием частичек воздуха.

2. «Мистический шестивершинник» или «великая паскалева теорема»

В 13 лет Б. Паскаль уже имеет доступ в математический кружок Мерсенна, в который входило большинство парижских математиков, в том числе Э. Паскаль (Паскали жили в Париже с 1631 года).

Францисканский монах Марен Мерсенн (1588⁠—⁠1648) сыграл в истории науки большую и своеобразную роль учёного-организатора‍. Его основная заслуга состояла в том, что он вёл обширную переписку с большинством крупных учёных мира (у него было несколько сот корреспондентов). Мерсенн умело концентрировал информацию и сообщал её заинтересованным учёным. Эта деятельность требовала своеобразного дарования: умения быстро понимать новое, хорошо ставить задачи. Обладающий высокими нравственными качествами, Мерсенн пользовался доверием корреспондентов. Наряду с заочным коллективом корреспондентов существовал и очный кружок — «четверги Мерсенна», в который и попал Блез Паскаль. Здесь он нашёл себе достойного учителя. Им был Жерар Дезарг (1593⁠—⁠1662), инженер и архитектор, создатель оригинальной теории перспективы. Его главное сочинение «Черновой набросок вторжения в область того, что происходит при встрече конуса с плоскостью» (1639 г.) нашло лишь нескольких читателей и среди них особое место занимает Б. Паскаль, сумевший существенно продвинуться вперёд.

Хотя в то время Декарт прокладывал в геометрии совершенно новые пути, создавая аналитическую геометрию, в основном геометрия едва достигла уровня, на котором она находилась в Древней Греции. Многое из наследия греческих геометров оставалось неясным. Это прежде всего относилось к теории конических сечений. Самое выдающееся сочинение на эту тему — 8 книг «Konika» Аполлония — было известно лишь частично. Предпринимались попытки дать модернизированные изложения теории, среди которых наиболее известное принадлежит Клоду Мидоржу (1585⁠—⁠1647), члену кружка Мерсенна, но это сочинение фактически не содержало новых идей. Дезарг заметил, что систематическое применение метода перспективы позволяет построить теорию конических сечений с совершенно новых позиций.

Рассмотрим центральную проекцию из некоторой точки $O$‍‍ картинок на плоскости $\alpha$‍‍ на плоскость $\beta$‍‍ (рис. 2). Применять такое преобразование в теории конических сечений очень естественно, поскольку само их определение — как сечений прямого кругового конуса — можно перефразировать так (рис. 3): все они получаются при центральном проектировании из вершины конуса на различные плоскости одного из них (например, окружность). Далее, заметив, что при центральном проектировании пересекающиеся прямые могут перейти или в пересекающиеся, или в параллельные, объединим два последних свойства в одно, считая, что все параллельные друг другу прямые пересекаются в одной «бесконечно удалённой точке»; разные лучи параллельных прямых дают разные бесконечно удалённые точки; все бесконечно удалённые точки плоскости заполняют «бесконечно удалённую прямую». Если принять эти соглашения, то две любые различные прямые (уже не исключая параллельных) будут пересекаться в единственной точке. Утверждение, что через точку $A$‍‍ вне прямой $m$‍‍ можно провести единственную прямую, параллельную $m$‍,‍ можно переформулировать так: через обычную точку $A$‍‍ и бесконечно удалённую точку (отвечающую семейству прямых, параллельных $m$‍)‍ проходит единственная прямая — в результате в новых условиях без всяких ограничений справедливо утверждение, что через две различные точки проходит единственная прямая (бесконечно удалённая, если обе точки бесконечно удалены). Мы видим, что получается очень изящная теория, но для нас важно то, что при центральном проектировании точка пересечения прямых (в обобщённом смысле) переходит в точку пересечения. Важно продумать, какую роль в этом утверждении играет введение бесконечно удалённых элементов (при каких условиях точка пересечения переходит в бесконечно удалённую точку, когда прямая переходит в бесконечно удалённую прямую, и обратно). Не останавливаясь на использовании этого простого соображения, Дезаргом, мы расскажем о том, как замечательно применил его Паскаль.

В 1640 году Б. Паскаль напечатал свой «Опыт о конических сечениях». Не безынтересны сведения об этом издании: тираж — 50 экземпляров, 53 строки текста напечатаны на афише, предназначенной для расклейки на углах домов (про афишу Паскаля достоверно не известно, но Дезарг заведомо рекламировал таким способом свои результаты). В афише, подписанной инициалами автора (B. P.), без доказательства сообщается следующая теорема, которую ныне называют теоремой Паскаля. Пусть на коническом сечении $L$‍‍ (на рис. 4 $L$‍‍ — парабола, на рис. 5 — эллипс) произвольно выбраны и занумерованы 6 точек. Обозначим через $P$‍,‍ $Q$‍,‍ $R$‍‍ точки пересечения трёх пар прямых $(1,2)$‍‍ и $(4,5)$‍;‍ $(2,3)$‍‍ и $(5,6)$‍;‍ $(3,4)$‍‍ и $(6,1)$‍.‍ При простейшей нумерации («по порядку» — рис. 5) — это точки пересечения противоположных сторон шестиугольника. Тогда точки $P$‍,‍ $Q$‍,‍ $R$‍‍ лежат на одной прямой‍.

Паскаль вначале формулирует теорему для окружности и ограничивается простейшей нумерацией точек. В этом случае это элементарная, хотя и не слишком простая задача‍. А вот переход от окружности к любому коническому сечению очень прост. Нужно преобразовать при помощи центральной проекции такое сечение в окружность и воспользоваться тем, что при центральном проектировании прямые переходят в прямые, а точки пересечения (в обобщённом смысле) — в точки пересечения. Тогда, как уже доказано, образы точек $P$‍,‍ $Q$‍,‍ $R$‍‍ при проектировании будут лежать на одной прямой, а отсюда следует, что и сами точки $P$‍,‍ $Q$‍,‍ $R$‍‍ обладают этим свойством.

Теорема, которую Паскаль назвал теоремой о «мистическом шестивершиннике», не была самоцелью; он рассматривал её как ключ для построения общей теории конических сечений, покрывающей теорию Аполлония. Уже в афише упоминаются обобщения важных теорем Аполлония, которые не удавалось получить Дезаргу. Дезарг высоко оценил теорему Паскаля, назвав её «великой паскалевой»; он утверждал, что в ней содержатся первые четыре книги Аполлония.

Паскаль начинает работу над «Полным трудом о конических сечениях», который в 1654 году упоминается как оконченный в послании «Знаменитейшей Парижской математической академии». От Мерсенна известно, что Паскаль получил около 400 следствий из своей теоремы. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646⁠—⁠1716) был последним, кто видел трактат Паскаля уже после его смерти, в 1675⁠—⁠1676 году. Несмотря на совет Лейбница, родные не опубликовали рукопись, а со временем она была утеряна.

В качестве примера приведём одно из самых простых, но и самых важных следствий из теоремы Паскаля. Коническое сечение однозначно определяется любыми своими пятью точками. Действительно, пусть $\{1,2,3,4,5\}$‍‍ — точки конического сечения (рис. 6) и $m$‍‍ — произвольная прямая, проходящая через 5. Тогда на $m$‍‍ существует единственная точка 6 конического сечения, отличная от 5. В обозначениях теоремы Паскаля точка $P$‍‍ является точкой пересечения $(1,2)$‍‍ и $(4,5)$‍,‍ $Q$‍‍ — точка пересечения $(2,3)$‍‍ и $m$‍,‍ $R$‍‍ — точка пересечения $(3,4)$‍‍ и $PQ$‍,‍ а тогда 6 определяется как точка пересечения $(1,R)$‍‍ и $m$‍.‍

3. «Паскалево колесо»

2 января 1640 года семья Паскалей переезжает в Руан, где Этьен Паскаль получает место интенданта провинции, фактически ведающего всеми делами при губернаторе.

Этому назначению предшествовали любопытные события. Э. Паскаль принял активное участие в выступлениях парижских рантьеров, за что ему грозило заточение в Бастилию. Он был вынужден скрываться, но в это время заболела оспой Жаклина, и отец, несмотря на страшную угрозу, навещает её. Жаклина выздоровела и даже участвовала в спектакле, на котором присутствовал кардинал Ришелье. По просьбе юной актрисы кардинал простил её отца, но одновременно назначил его на должность. Бывший смутьян должен был проводить в жизнь политику кардинала (читателей «Трёх мушкетёров» это коварство, наверное, не удивит).

Теперь у Этьена Паскаля было очень много счётной работы, в которой ему постоянно помогает сын. В конце 1640 года Блезу Паскалю приходит мысль построить машину, чтобы освободить ум от расчётов «с помощью пера и жетонов». Основной замысел возник быстро и оставался неизменным на протяжении всей работы: «...каждое колесо и стержень некоторого разряда, совершая движение на десять арифметических цифр, заставляет двигаться следующее только на одну цифру».

Однако блестящая идея — это только первый шаг. Несравненно больших сил потребовала её реализация. Позднее в «Предуведомлении тому, кто будет иметь любознательность видеть арифметическую машину и пользоваться ею», Блез Паскаль скромно напишет: «Я не экономил ни времени, ни труда, ни средства, чтобы довести её до состояния быть тебе полезной». За этими словами стояло пять лет напряжённой работы, которая привела к созданию машины — «паскалева колеса», как говорили современники, надёжно, хотя и довольно медленно, производившей четыре действия над пятизначными числами. Паскаль изготовил около пятидесяти экземпляров машины; вот только перечень материалов, которые он перепробовал: дерево, слоновая кость, эбеновое дерево, латунь, медь. Он потратил много сил на поиски лучших ремесленников, владеющих токарным станком, напильником и молотком, и ему много раз казалось, что они не в состоянии достичь необходимой точности. Тщательно продумывается система испытаний, в их число включается перевозка на 250 лье. Паскаль не забывает и о рекламе: он заручается поддержкой канцлера Сегье, добивается «королевских привилегий» (нечто вроде патента), много раз демонстрирует машину в салонах и даже посылает экземпляр шведской королеве Христине. Наконец налаживается производство; точное число произведённых машин неизвестно, но до настоящего времени сохранилось восемь экземпляров.

Поражает, как блестяще умел делать Паскаль самые разные вещи. Сравнительно недавно стало известно, что в 1623 году Шиккард, друг Кеплера, построил арифметическую машину, однако машина Паскаля была гораздо совершенней.

4. «Боязнь пустоты» и «великий эксперимент равновесия жидкостей»

В конце 1646 года до Руана докатил�