Скопец З. А.

Соотношение Лейбница и распределительное свойство скалярного произведения векторовСкопец З. А. Соотношение Лейбница и распределительное свойство скалярного произведения векторов // Квант. — 1972. — № 6. — С. 22⁠—⁠25.‍‍

Напомним, что скалярное произведение двух векторов есть число, равное произведению длин (модулей) этих векторов на косинус угла между ними: $$ \bm{a}\cdot\bm{b}=|\bm{a}|\cdot|\bm{b}|\cdot\cos\widehat{(\bm{a},\bm{b})}.\tag1 $$

Такое определение годится для векторов и на плоскости, и в пространстве. Скалярное умножение связано со сложением векторов распределительным (дистрибутивным) законом: $$ \bm{a}(\bm{b}+\bm{c})=\bm{a}\cdot\bm{b}+\bm{a}\cdot\bm{c}.\tag2 $$

Это свойство удобно использовать во многих случаях, в особенности при доказательстве стереометрических теорем о перпендикулярных прямых и плоскостях‍. Но беда в том, что обычно само свойство (2) доказывается с помощью некоторых из этих теорем‍. В этой заметке мы покажем, что существует путь, свободный от указанного недостатка: мы выведем свойство (2) из соотношения Лейбница для элементов треугольной пирамиды, а затем докажем это соотношение без использования теорем стереометрии.

Соотношение Лейбница интересно и само по себе. Оно выражает расстояние от вершины тетраэдра до точки пересечения медиан противоположной этой вершине грани тетраэдра через длины всех шести его рёбер.

1. Соотношение Лейбница. Пусть дан тетраэдр $OABC$‍‍ (рис. 1), $G$‍‍ — точка пересечения медиан трсугольника $ABC$‍.‍ Положим: $OG=d$‍,‍ $OA=a$‍,‍ $AB=c_1$‍,‍ $OB=b$‍,‍ $OC=c$‍,‍ $BC=a_1$‍,‍ $CA=b_1$‍.‍ Тогда $$ d^2=\dfrac13(a^2+b^2+c^2)-\dfrac19(a_1^2+b_1^2+c_1^2).\tag3 $$

Это соотношение мы выведем несколько позднее. А сейчас покажем, как из него следует распределительное свойство скалярного произведения векторов (2). Положим $\overrightarrow{OA}=\bm{a}$‍,‍ $\overrightarrow{OB}=\bm{b}$‍,‍ $\overrightarrow{OC}=\bm{c}$‍.‍

Очевидно, $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GA_1}$‍,‍ где $A_1$‍‍ — середина стороны $BC$‍.‍ Следовательно, $\overrightarrow{OG}-\bm{a}=2(\overrightarrow{OA_1}-\overrightarrow{OG})$‍.‍ Но $\overrightarrow{OA_1}=\dfrac12(\bm{b}+\bm{c})$‍,‍ поэтому $\overrightarrow{OG}-\bm{a}=-2\overrightarrow{OG}+(\bm{b}+\bm{c})$‍‍ или $$ \overrightarrow{OG}=\dfrac13(\bm{a}+\bm{b}+\bm{c}).\tag4 $$ Отсюда $$ d^2=\overrightarrow{OG}{}^2=\bm{d}^2=\dfrac19(\bm{a}+\bm{b}+\bm{c})^2=\dfrac19[\bm{a}+(\bm{b}+\bm{c})]^2. $$

Из определения скалярного произведения векторов и теоремы косинусов следует (рис. 2, а, б), что $$ \begin{align*} (\bm{a}-\bm{b})^2&=\overrightarrow{AB}{}^2=|\bm{a}|^2+|\bm{b}|^2-2|\bm{a}||\bm{b}|\cos\widehat{(\bm{a},\bm{b})}=\bm{a}^2+\bm{b}^2-2\bm{a}\bm{b},\tag5\\ (\bm{a}+\bm{b})^2&=|\bm{a}|^2+|\bm{b}|^2+2|\bm{a}||\bm{b}|\cos\widehat{(\bm{a},\bm{b})}=\bm{a}^2+\bm{b}^2+2\bm{a}\bm{b},\tag6 \end{align*} $$

Согласно соотношению (6) имеем: $$ \bm{d}^2=\dfrac19[\bm{a}^2+2\bm{a}(\bm{b}+\bm{c})+(\bm{b}+\bm{c})^2] $$ или $$ \bm{d}^2=\dfrac19[\bm{a}^2+2\bm{a}(\bm{b}+\bm{c})+\bm{b}^2+\bm{c}^2+2\bm{b}\bm{c}].\tag7 $$

Из соотношения Лейбница (3) и формулы (5) следует: $$ \begin{align*} \bm{d}^2&=\dfrac13(\bm{a}^2+\bm{b}^2+\bm{c}^2)-\dfrac19[(\bm{b}-\bm{c})^2+(\bm{c}-\bm{a})^2+(\bm{a}-\bm{b})^2]=\\ &=\dfrac13(\bm{a}^2+\bm{b}^2+\bm{c}^2)-\dfrac29(\bm{a}^2+\bm{b}^2+\bm{c}^2-\bm{b}\bm{c}-\bm{a}\bm{c}-\bm{a}\bm{b}) \end{align*} $$ или $$ \bm{d}^2=\dfrac19(\bm{a}^2+\bm{b}^2+\bm{c}^2)+\dfrac29(\bm{a}\bm{b}+\bm{b}\bm{c}+\bm{c}\bm{a}).\tag8 $$

Сопоставляя (7) и (8), находим: $$ \dfrac19(\bm{a}^2+\bm{b}^2+\bm{c}^2)+\dfrac29[\bm{a}(\bm{b}+\bm{c})+\bm{b}\bm{c}]= \dfrac19(\bm{a}^2+\bm{b}^2+\bm{c}^2)+\dfrac29(\bm{a}\bm{b}+\bm{b}\bm{c}+\bm{c}\bm{a}). $$ Отсюда следует распределительное свойство скалярного произведения векторов (2).

2. Теперь остаётся доказать соотношение (3), не прибегая к теоремам стереометрии.

По теореме косинусов из треугольников $OAG$‍‍ и $OA_1G$‍:‍ $$ \begin{gather*} a^2=d^2+AG^2-2d\cdot AG\cos\phi=d^2+\dfrac49AA_1^2-\dfrac43d\cdot AA_1\cos\phi,\\ OA_1^2=d^2+A_1G^2+2d\cdot A_1G\cos\phi=d^2+\dfrac19AA_1^2+\dfrac23d\cdot AA_1\cos\phi. \end{gather*} $$

Исключая $\phi$‍,‍ находим: $$ a^2+2OA_1^2=3d^2+\dfrac23AA_1^2.\tag9 $$ Но $OA_1^2=\dfrac12(b^2+c^2)-\dfrac{a_1^2}4$‍,‍ $AA_1^2=\dfrac12(b_1^2+c_1^2)-\dfrac{a_1^2}4$‍‍ — это следует из формулы, выражающей квадрат длины медианы треугольника через длины его сторон (рис. 3). Подставляя значения $OA_1^2$‍‍ и $AA_1^2$‍‍ в формулу (9), получим: $$ a^2+b^2+c^2-\dfrac{a_1^2}2=3d^2+\dfrac{b_1^2+c_1^2}3-\dfrac{a_1^2}6. $$ Отсюда $$ 3d^2=a^2+b^2+c^2-\dfrac{a_1^2+b_1^2+c_1^2}3 $$ или $$ d^2=\dfrac13(a^2+b^2+c^2)-\dfrac19(a_1^2+b_1^2+c_1^2). $$

Заметим, что соотношение Лейбница остаётся в силе и тогда, когда точка $O$‍‍ лежит в плоскости треугольника $ABC$‍‍ (рис. 1). Именно для этого случая обычно рассматривается соотношение Лейбница в планиметрии, причём в несколько изменённой форме: $$ 3d^2=a^2+b^2+c^2-(GA^2+GB^2+GC^2).\tag{3′} $$

Равносильность соотношений (3) и (3′) вытекает из равенства $$ GA^2+GB^2+GC^2=\dfrac49{\left(\dfrac{b_1^2+c_1^2}2-\dfrac{a_1^2}4+\dfrac{c_1^2+a_1^2}2-\dfrac{b_1^2}4+\dfrac{a_1^2+b_1^2}2-\dfrac{c_1^2}4\right)}=\dfrac13(a_1^2+b_1^2+c_1^2). $$

3. Добавим несколько задач, решения которых основаны на применении соотношения Лейбница (3) или (3′).

а) Множество точек пространства, сумма квадратов расстояний которых до вершин треугольника $ABC$‍‍ ($BC=a$‍,‍ $CA=b$‍,‍ $AB=c$‍)‍ постоянна и равна $k^2$‍,‍ есть сфера, центр которой совпадает с точкой $G$‍‍ пересечения медиан треугольника $ABC$‍‍ $\Big($‍‍при условии, что $k^2\gt\dfrac13(a_1^2+b_1^2+c_1^2)\Big)$‍.‍

В самом деле, из (3) следует, что $$ d^2=\dfrac13k^2-\dfrac19(a_1^2+b_1^2+c_1^2) $$ и при $k^2\gt\dfrac13(a_1^2+b_1^2+c_1^2)$‍‍ расстояние $d$‍‍ от точки $O$‍‍ до точки $G$‍‍ постоянно и равно радиусу $R$‍‍ этой сферы: $$ R=\dfrac13\sqrt{3k^2-(a_1^2+b_1^2+c_1^2)}. $$

б) Точка, сумма квадратов расстояний которой до вершин треугольника минимальна, есть точка пересечения медиан этого треугольника.

Из (3′) следует, что $a^2+b^2+c^2=GA^2+GB^2+GC^2+3OG^2$‍.‍ Левая часть достигает минимума при условии $OG=0$‍,‍ или когда точка $O$‍‍ совпадает с точкой $G$‍.‍

в) Если в окружность вписаны два равносторонних треугольника, то сумма квадратов расстояний любой точки пространства до вершин одного треугольника равна сумме квадратов её расстояний до вершин другого треугольника.

г) Если вершину параллелепипеда соединить со всеми остальными его вершинами, то получатся семь отрезков, из которых один — диагональ $d$‍‍ параллелепипеда, три — диагонали $d_1$‍,‍ $d_2$‍,‍ $d_3$‍‍ его боковых граней, остальные три — рёбра $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ параллелепипеда.

Путём двукратного применения соотношения Лейбница (3)

1. доказать истинность следующего соотношения, связываю щего указанные семь линейных элементов параллелепипеда: $$ d^2=d_1^2+d_2^2+d_3^2-(a^2+b^2+c^2);\tag{10} $$
2. вывести распределительное свойство скалярного произведения векторов, исходя из соотношения (10).

Приложение

Используя теоремы стереометрии (см. сноску на стр. 22), мы можем легко доказать, что $$ \bm{a}(\bm{b}+\bm{c})=\bm{ab}+\bm{bc}.\tag{11} $$ Докажем сначала такую лемму.

Лемма. Проекция вектора на ось не зависит от того, от какой точки пространства отложен вектор.

Доказательство. Пусть $\overrightarrow{C'D'}$‍‍ — проекция вектора $\overrightarrow{CD}$‍‍ на ось $l$‍,‍ т. е. $CC'$‍‍ и $DD'$‍‍ — перпендикуляры, опущенные из точек $C$‍‍ и $D$‍‍ на $l$‍‍ (рис. 4). Пусть $E$‍‍ — четвёртая вершина параллелограмма $CC'D'E$‍,‍ тогда $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{C'D'}$‍,‍ $CC'\parallel ED'$‍‍ и потому $ED'\perp l$‍.‍

Поскольку $ED'\perp l$‍‍ и $DD'\perp l$‍,‍ то $DE\perp l$‍‍ и, следовательно, $DE\perp CE$‍.‍ Тем самым, мы доказали, что проекция вектора $\overrightarrow{CD}$‍‍ на ось $l$‍‍ равна его проекции на ось, параллельную $l$‍‍ и проходящую через начало вектора — точку $C$‍:‍ $$ \overrightarrow{C'D'}=\overrightarrow{CE}. $$

Теперь утверждение леммы — очевидно (если $\overrightarrow{C_1D_1}=\overrightarrow{CD}$‍,‍ то соответствующие прямоугольные треугольники $CDE$‍‍ и $C_1D_1E_1$‍‍ равны по острому углу $\phi=\angle ECD=\angle E_1C_1D_1$‍‍ и гипотенузе $CD=C_1D_1$‍).‍

Одновременно мы видим, что координата проекции вектора $\bm{c}=\overrightarrow{CD}$‍‍ на ось $l$‍‍ равна $$ \mathop{\text{пр}_l}\bm{c}=|\bm{c}|\cos\phi, $$ где $|\bm{c}|$‍‍ — длина вектора $\bm{c}$‍,‍ $\phi$‍‍ — угол между вектором и осью (это число положительно, если проекция направлена в ту же сторону, что ось, и отрицательно, если в противоположную).

Теперь заметим, что скалярное произведение векторов $\bm{a}$‍‍ и $\bm{b}$‍‍ равно $|\bm{a}|\mathop{\text{пр}_a}\bm{b}$‍,‍ где $\mathop{\text{пр}_a}\bm{b}$‍‍ — координата проекции вектора $\bm{b}$‍‍ на ось, определяемую вектором $\bm{a}$‍,‍ так что (11) можно переписать так: $$ |\bm{a}|\mathop{\text{пр}_a}(\bm{b}+\bm{c})=|\bm{a}|\mathop{\text{пр}_a}\bm{b}+|\bm{a}|\mathop{\text{пр}_a}\bm{c}.\tag{12} $$ Осталось доказать, что $$ \mathop{\text{пр}_a}(\bm{b}+\bm{c})=\mathop{\text{пр}_a}\bm{b}+\mathop{\text{пр}_a}\bm{c}.\tag{13} $$ Это вытекает из рисунка 5, где $\overrightarrow{OB}=\bm{b}$‍,‍ $\overrightarrow{OC}=\bm{c}$‍,‍ $\overrightarrow{OD}=\bm{b}+\bm{c}$‍,‍ поскольку по лемме проекция вектора $\overrightarrow{OB}$‍‍ равна проекции вектора $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{OB}$‍;‍ равенство (13) следует из того, что $\overrightarrow{OD'}=\overrightarrow{OC'}+\overrightarrow{C'D'}$‍.‍