«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Многоугольник, описанный вокруг окружности радиуса $r$, каким-то образом разрезан на треугольники. Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше $r$.
Для каждого натурального числа $n$ обозначим через $s(n)$ сумму его цифр (в десятичной записи). Назовём натуральное число $m$ особым, если его нельзя представить в виде $m=n+s(n)$, где $n$ — какое-то натуральное число.…
Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.
Какое наибольшее число точек можно разместить
так, чтобы ни один из треугольников с вершинами в этих точках не был…
Текст задачи готовится
Футболист ударил по мячу, сообщив ему скорость $v$ под углом $\alpha$ к горизонту, и попал в ближний нижний угол ворот. Если бы футболист ударил по мячу в том же месте футбольного поля и мяч полетел бы под тем же углом к горизонту, но со скоростью, на 5% большей…
Пусть $A$ — основание перпендикуляра, опущенного из центра данной окружности на данную прямую $l$.
На этой прямой взяты еще две точки $B$ и $C$ так, что $AB+AC$.
Через точки $B$ и…
Докажите, что если $a_1$, $a_2$, ..., $a_m$ — попарно различные натуральные числа, ни одно из которых не делится на квадрат целого числа, большего единицы, а $b_1$, $b_2$, ..., $b_m$ — целые числа, отличные от нуля,…
