Изображения страниц
Текст статьи Математический бой // Квант. — 1972. — № 10. — С. 16.
Ниже приводятся задачи, предложенные на математическом бое, проводившемся во время слёта учащихся физико-математических школ в Ленинграде 7 января 1972 г. (О его правилах рассказано в статье на стр. 71.)
- Найти целые
$x$ и$y$ такие, что $$ (((x^x-y)^x-y)^x-y)^x+x+y=1972+1000x. $$ - Доказать, что из любых 1972 целых чисел можно выбрать ровно 972, сумма которых делится на 972.
- Можно ли точки трёхмерного пространства раскрасить в три цвета так, чтобы не было ни одного отрезка, целиком закрашенного в один цвет?
- Доказать, что произведение всех чисел от
$n+1$ до$2n$ делится на$2^n$ и не делится на$2^{n+1}$. - Построить окружность, которая делит каждую из трёх данных равных окружностей на две равные части.
- Среди треугольников данной площади найти треугольник с наименьшей суммой отношений медиан к соответствующим биссектрисам.
- Билет имеет шестизначный номер. Билет называется счастливым по-ленинградски, если сумма первых трёх его цифр равна сумме трёх последних цифр. Билет называется счастливым по-выборгски, если его номер делится на 11. Каких билетов больше: счастливых по-ленинградски или по-выборгски?
- Можно ли замостить плоскость четырёхугольниками, равными данному?
- Можно ли в сечении куба плоскостью получить правильный пятиугольник?