Текст статьи Федотов В. П. Математический бой // Квант. — 1972. — № 10. — С. 71—74.
В «Кванте» №5 в информации о слёте учащихся физико-математических школ мы упоминали о том, что на слёте проводился математический бой — соревнование, ставшее популярным в физико-математических школах. В этом номере мы публикуем правила математического боя и задачи математического боя, состоявшегося на 6-й Всесоюзной математической олимпиаде в Челябинске.
В математическом бое участвуют 2 или 3 команды, состоящие из 8—12 членов каждая, один из них является капитаном. Подготовку боя и судейство ведёт жюри, которое заранее отбирает задачи (обычно столько же, сколько членов в команде) и утверждает правила и регламент боя, а во время боя присуждает командам очки. Наиболее интересно проходит бой трёх команд, поэтому мы изложим правила математического боя для трёх команд, а затем расскажем об особенностях боя двух команд.
Подготовительная часть
Первые 2—5 часов команды находятся в различных помещениях и решают задачи. При этом ни одна из команд не должна получать информацию, о том, какие задачи решены противниками.
На этом этапе команда выступает как единое целое: все её члены вместе решают задачи, и если задача решена кем-либо из них, то остальным решать её уже не надо. Распределением задач руководит капитан. Однако в дальнейшем по каждой задаче команду будет представлять один человек, поэтому капитан должен распределить решённые задачи между членами команды (при этом один человек может выступать по нескольким задачам). Кроме того, нужны «специалисты» по нерешённым задачам, знакомые со всеми трудностями и тонкостями задачи и способные опровергнуть неправильное решение противника.
Бой
Когда кончается время на подготовку, команды собираются вместе в зале и начинается бой, который состоит из туров (по каждой задаче). Прежде всего жюри с помощью лёгких дополнительных вопросов, конкурса капитанов или жеребьёвкой присваивает командам номера
После этого жюри предоставляет право команде
Далее возможны 9 вариантов, собранные в таблицу.
$$ \def\a#1{\hskip1.25em\mathclap{\text{#1}}\hskip1.25em} \def\b#1{\mathrlap{#1}\hskip4em} \def\c#1#2#3{\mathrlap{#1}\smash{\raisebox{-16pt}{\(\mathrlap{#2}\)}\raisebox{-28pt}{\(\mathrlap{#3}\)}}\hskip4em} \def\-{\mathclap{\rule{5em}{.4pt}}} \def\_{\mathclap{\rule{3.5em}{.4pt}}} \def\t{\text{—}} {\textbf{9 вариантов распределения ролей 3 команд в туре}\atop \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\\[-6pt] A&B&A&C&B&\a{отв.}&\a{опп.}&\a{рец.}&\a{штраф}\\\\[-6pt]\hline\\[-6pt] \b{\text{вызов}~B}&\b{\text{принят}}&\t&\t&\t&B&A&C&\t\\[-3.5pt] &\-&\-&\-&\-&\_&\_&\_&\_\\[3.5pt] \b{\text{вызов}~B}&\b{\text{отказ}}&\b{\text{принят}}&\t&\t&A(?)&B&C&?\\[-3.5pt] &&\-&\-&\-&\_&\_&\_&\_\\[3.5pt] \b{\text{вызов}~B}&\b{\text{отказ}}&\c{\text{отказ}}{\text{(некорр.}}{\text{вызов)}}&\b{\text{принят}}&\t&C&B&A&A\\[-3.5pt] &&&\-&\-&\_&\_&\_&\_\\[3.5pt] \b{\text{вызов}~B}&\b{\text{отказ}}&&\b{\text{отказ}}&\t&\t&\t&\t&A\\[6pt] \hline\\[-6pt] \b{\text{отказ}}&\b{\text{вызов}~C}&\t&\b{\text{принят}}&\t&C&B&A&\t\\[-3.5pt] &&&\-&\-&\_&\_&\_&\_\\[3.5pt] \b{\text{отказ}}&\b{\text{вызов}~C}&\t&\b{\text{отказ}}&\b{\text{принят}}&B(?)&C&A&?\\[-3.5pt] &&&&\-&\_&\_&\_&\_\\[3.5pt] \b{\text{отказ}}&\b{\text{вызов}~C}&\t&\b{\text{отказ}}&\c{\text{отказ}}{\text{(некорр.}}{\text{вызов)}}&\t&\t&\t&B\\[21.5pt] &\-&\-&\-&\-&\_&\_&\_&\_\\[3.5pt] \b{\text{отказ}}&\b{\text{отказ}}&\t&\b{\text{принят}}&\t&C&B&A&\t\\[-3.5pt] &&&\-&\-&\_&\_&\_&\_\\[3.5pt] \b{\text{отказ}}&\b{\text{отказ}}&\t&\b{\text{отказ}}&\t&\t&\t&\t&\t\\[6pt]\hline \end{array}}$$
Команда
При ответе жюри предоставляет слово отвечающему и даёт право оппоненту в любом месте прервать отвечающего, чтобы задать ему вопрос или попросить его повторить неясное место. Ни рецензент, ни жюри, ни остальные члены команд (а тем более болельщики) не имеют права вмешиваться в диалог отвечающего и оппонента или задавать вопросы. Только в случае, если дискуссия между отвечающим и оппонентом затянется и уйдёт в сторону, жюри имеет право прервать её и передать слово рецензенту. Рецензент обычно не задаёт вопросов отвечающему и оппоненту, а лишь комментирует ход решения и оппонирование. Только после окончания выступления рецензента члены жюри получают право задавать вопросы отвечающему.
Каждая задача независимо от её трудности оценивается в 12 очков, которые распределяются между отвечающим, оппонентом и рецензентом в зависимости от содержания их выступлений. Если был обнаружен некорректный вызов, то из этих же 12 очков выделяются штрафные очки. За некорректный вызов команды
Очень часто все 12 очков получает одна команда: либо команда
Массу неприятностей жюри доставляет проблема некорректных вызовов. Команда
Если в бою участвуют только две команды, то правила значительно упрощаются — нет рецензирования и не нужно заботиться о расписании вызовов. Здесь команда, вызвавшая некорректно, наказывается ещё и тем, что она обязана повторить вызов. Кроме того, жюри имеет право часть очков не распределять между командами вообще.
Расписание ролей команд надо составлять так, чтобы каждая команда могла вызвать каждую другую. Если бой ведётся по 6 (или 12) задачам, то в 6 турах как раз получаются все перестановки 3 команд
Задачи математического боя в Челябинске на Всесоюзной математической олимпиаде
- Дана последовательность
$\{a_n\}$ и функция$f$ такая, что$f(n+1)-f(n)\ge n+1$. Известно, что$a_n\le a_{n+1}+a_{f(n)}$. Докажите, что можно указать такие члены$a_{i_1}$, $\ldots$, $a_{i_k}$, что$a_{i_1}+a_{i_2}+\ldots+a_{i_k}\gt100$. - В сыре, имеющем форму куба
$n\times n\times n$, вырезана сферическая дырка диаметра$1$. Найти минимальное число плоских разрезов, позволяющих наверняка её обнаружить. - Каждая страна на плоскости состоит из одного или двух кусков. Докажите, что карту можно правильно раскрасить
$12$ цветами. - В треугольнике
$ABC$ построены внутренним образом равнобедренные треугольники$ABC'$, $BCA'$, $ACB'$. Доказать, что прямые$CC_1$, $BB_1$ и$AA_1$, перпендикулярные$A'B'$, $A'C'$ и$B'C'$ соответственно, пересекаются в одной точке. - Для всякого
$n$ можно указать такое$m$, что из$m$ человек можно выбрать$n$ попарно знакомых или$n$ попарно незнакомых. - Даны числа
$a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$, причём$a_0=a_n=0$, $a_i\gt0$ при$i\ne0$, $n$ и$\dfrac{a_{s-1}+a_{s+1}}2\ge a_s\cos\dfrac\pi k$. Доказать, что$n\ge k$. - Дана функция
$f$ на отрезке$[a,b]$, причём$f+f''\gt0$, $f(a)=f(b)=0$, $f(x)\gt0$ на$(a,b)$. Доказать, что$b-a\gt\pi$ . - Пусть
$a$ и$n$ — натуральные числа, большие$1$. Доказать, что $$ a^n-a\ne\sum\limits_d\dfrac{a^n-1}{a^d-1}, $$ где суммирование ведётся по некоторым делителям$d$ числа$n$.