«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Вот несколько примеров, когда сумма квадратов $k$ последовательных натуральных чисел равна сумме квадратов $k-1$ следующих натуральных чисел: $$\begin{gathered} 3^2+4^2=5^2,\\ 36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2,\\ 55^2+56^2+57^2+58^2+59^2+60^2=61^2+62^2+63^2+64^2+65^2. \end{gathered}$$
Найдите общую формулу, охватывающую все такие случаи.
Ювелиру заказано золотое колечко шириной $h$, имеющее форму тела, ограниченного поверхностью шара с центром $O$ и поверхностью цилиндра радиуса $r$, ось которого проходит через точку $O$ (рис. 1). Мастер сделал такое колечко, но…
Сетка линий, изображённая на обложке этого номера журнала, состоит из концентрических окружностей радиусов 1, 2, 3, 4, $\ldots$ с центром в точке $O$, прямой $l$, проходящей через точку $O$, и всевозможных касательных к окружностям,…
Число 76 обладает таким любопытным свойством: последние две цифры числа $76^2=5776$ дают снова 76.
Пусть $l_1$, $l_2$, $\ldots$, $l_n$ — несколько прямых на плоскости, среди которых есть две пересекающихся. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке $X_1$, $X_2$, $\ldots$…
Текст задачи готовится
Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10. Доказать, что найдется прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.
Докажите, что при всех натуральных $n>1$ $$ \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{\sqrt{2n}} \lt \frac{1\cdot 3 \cdot\ldots\cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2n} \lt \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{\sqrt{2n}}. $$
Докажите, что любую дробь $\dfrac mn$, где $0\lt\dfrac mn\lt1$, можно представить в виде $$ \dfrac mn=\dfrac1{q_1}+\dfrac1{q_2}+\dfrac1{q_3}+\ldots+\dfrac1{q_r}, $$ где $0 \lt q_1 \lt q_2 \lt \ldots \lt q_r$ — целые числа, и каждое $q_k$ ($k = 2$, 3, $\ldots$, $r$) делится на $q_{k-1}$.
В множестве, состоящем из $n$ элементов, выбрано $2^{n-1}$ подмножеств, каждые три из которых имеют общий элемент. Докажите, что все эти подмножества имеют общий элемент.
Найти скорость испарения с единицы поверхности воды в вакуум при температуре $20^\circ\text{ C}$. (Давление насыщенных паров при этой температуре равно $17{,}5\text{ мм рт. ст.}$) За какое время испарится в комнате вода, налитая доверху в обычное чайное блюдце? Испарение небольшого количества воды…
В киноаппарате и кинопроекторе проходит 8 кадров в секунду. На экране движется автомобиль с колесами, реальный диаметр которых 1 м. Изображения колес делают 2 оборота в секунду. Какова скорость автомобиля?
Как световое давление ориентирует относительно Солнца космический корабль сферической формы, одна половина которого зеркальная, а другая — чёрная, полностью поглощающая излучение Солнца? Центр тяжести корабля находится в центре сферы.
На поверхности воды плавает деревянный брусок квадратного сечения. Какое из двух положений равновесия, показанных на рисунке 1, будет устойчивым? Плотность материала, из которого сделан брусок, равна половине плотности воды.
По гладкому горизональному проволочному кольцу могут скользить без трения две бусинки с массами $m_1$ и $m_2$. Вначале бусинки были coeдинены ниткой и между ними находилась сжатая пружинка. Нитку пережигают. После того, как бусинки начинают двигаться, пружинку…
На рисунке 2 изображена капельная электростатическая машина (генератор Кельвина). Из трубки в полый изолированный металлический шар радиуса $R$ падают капли воды, заряженные до потенциала $\varphi_0$. Как зависит предельный потенциал, до которого может зарядиться…
