Задачник «Кванта» / Квант. — 1971. — № 2 / 1971 год / Номера // Архив журнала «Квант»

Изображения страниц

Скачать PDF

Текстовое представление статьи находится в процессе подготовки. С графическим представлением можно ознакомиться в опубликованном номере

Задачи М66‍—‍М70, Ф77‍—‍Ф82 Задачи М66—М70, Ф77—Ф82 // Квант. — 1971. — № 2. — С. 24—25.

Задача М66
Вот несколько примеров, когда сумма квадратов $k$‍‍ последовательных натуральных чисел равна сумме квадратов $k-1$‍‍ следующих натуральных чисел: $$\begin{gathered} 3^2+4^2=5^2,\\ 36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2,\\ 55^2+56^2+57^2+58^2+59^2+60^2=61^2+62^2+63^2+64^2+65^2. \end{gathered}$$
Найдите общую формулу, охватывающую все такие случаи.
Задача М67
Ювелиру заказано золотое колечко шириной $h$‍,‍ имеющее форму тела, ограниченного поверхностью шара с центром $O$‍‍ и поверхностью цилиндра радиуса $r$‍,‍ ось которого проходит через точку $O$‍‍ (рис. 1). Мастер сделал такое колечко, но выбрал…
Задача М68
Сетка линий, изображённая на обложке этого номера журнала, состоит из концентрических окружностей радиусов 1, 2, 3, 4, ... с центром в точке $O$‍,‍ прямой $l$‍,‍ проходящей через точку $O$‍,‍ и всевозможных касательных к окружностям, параллельных…
Задача М69
Число 76 обладает таким любопытным свойством: последние две цифры числа $76^2=5776$‍‍ дают снова 76.
а) Есть ли ещё такие двузначные числа?
б) Найдите все трехзначные числа $A$‍‍ такие, у которых последние три цифры числа $A^2$‍‍ составляют число…
Задача М70
Пусть $l_1$‍,‍ $l_2$‍,‍ ..., $l_n$‍‍ — несколько прямых на плоскости, среди которых есть две пересекающихся. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке $X_1$‍,‍ $X_2$‍,‍ ... так, чтобы перпендикуляр,…
Задача Ф77
Текст задачи готовится
Задача Ф78
Текст задачи готовится
Задача Ф79
Текст задачи готовится
Задача Ф80
Текст задачи готовится
Задача Ф81
Текст задачи готовится
Задача Ф82
Текст задачи готовится

Решения М21‍—‍М25, Ф29‍—‍Ф34 Решения М21—М25, Ф29—Ф34 // Квант. — 1971. — № 2. — С. 26—36.

Задача М21
Внутри квадрата со стороной 1 расположено несколько окружностей, сумма длин которых равна 10. Доказать, что найдется прямая, пересекающая по крайней мере четыре из этих окружностей.
Задача М22
а) В угол вписаны две окружности; у них есть общая внутренняя касательная $T_1 T_2$‍‍ ($T_1$‍‍ и $T_2$‍‍ — точки касания), которая пересекает стороны угла в точках $A_1$‍‍ и $A_2$‍.‍ Докажите что $A_1 T_1=A_2 T_2$‍‍ (или, что эквивалентно,…
Задача М23
Докажите, что при всех натуральных $n>1$‍‍ $$ \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{\sqrt{2n}} \lt \frac{1\cdot 3 \cdot\ldots\cdot (2n-1)}{2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2n} \lt \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{\sqrt{2n}}. $$
Задача М24
Докажите, что любую дробь $\dfrac mn$‍,‍ где $0\lt\dfrac mn\lt1$‍,‍ можно представить в виде $$ \dfrac mn=\dfrac1{q_1}+\dfrac1{q_2}+\dfrac1{q_3}+\ldots+\dfrac1{q_r}, $$ где $0 \lt q_1 \lt q_2 \lt \ldots \lt q_r$‍‍ — целые числа, и каждое $q_k$‍‍ ($k = 2$‍,‍ 3, $\ldots$‍,‍ $r$‍)‍ делится на $q_{k-1}$‍.‍
Задача М25
В множестве, состоящем из $n$‍‍ элементов, выбрано $2^{n-1}$‍‍ подмножеств, каждые три из которых имеют общий элемент. Докажите, что все эти подмножества имеют общий элемент.
Задача Ф29
Найти скорость испарения с единицы поверхности воды в вакуум при температуре $20^\circ\text{ C}$‍.‍ (Давление насыщенных паров при этой температуре равно $17{,}5\text{ мм рт. ст.}$‍)‍ За какое время испарится в комнате вода, налитая доверху в обычное чайное блюдце? Испарение небольшого количества воды…
Задача Ф30
В киноаппарате и кинопроекторе проходит 8 кадров в секунду. На экране движется автомобиль с колесами, реальный диаметр которых 1 м. Изображения колес делают 2 оборота в секунду. Какова скорость автомобиля?
Задача Ф31
Как световое давление ориентирует относительно Солнца космический корабль сферической формы, одна половина которого зеркальная, а другая — чёрная, полностью поглощающая излучение Солнца? Центр тяжести корабля находится в центре сферы.
Задача Ф32
На поверхности воды плавает деревянный брусок квадратного сечения. Какое из двух положений равновесия, показанных на рисунке 1, будет устойчивым? Плотность материала, из которого сделан брусок, равна половине плотности воды.
Задача Ф33
По гладкому горизональному проволочному кольцу могут скользить без трения две бусинки с массами $m_1$‍‍ и $m_2$‍.‍ Вначале бусинки были coeдинены ниткой и между ними находилась сжатая пружинка. Нитку пережигают. После того, как бусинки начинают двигаться, пружинку…
Задача Ф34
На рисунке 2 изображена капельная электростатическая машина (генератор Кельвина). Из трубки в полый изолированный металлический шар радиуса $R$‍‍ падают капли воды, заряженные до потенциала $\varphi_0$‍.‍ Как зависит предельный потенциал, до которого может зарядиться…

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1971. — № 2. — С. 24—36.

Заглавие: Задачник «Кванта»
Год: 1971
Номер: 2
Страницы: 24—36
Рубрика: Задачник «Кванта»
Описание: Задачник «Кванта» // Квант. — 1971. — № 2. — С. 24‍—‍36.
Ссылка: https://www.kvant.digital/issues/1971/2/zadachnik_kvanta-627b2019/

Задачник «Кванта» (1971, № 2)Задачник «Кванта» // Квант. — 1971. — № 2. — С. 24‍—‍36.‍‍

Изображения страниц

Задачи М66‍—‍М70, Ф77‍—‍Ф82 Задачи М66—М70, Ф77—Ф82 // Квант. — 1971. — № 2. — С. 24—25.

Решения М21‍—‍М25, Ф29‍—‍Ф34 Решения М21—М25, Ф29—Ф34 // Квант. — 1971. — № 2. — С. 26—36.

Метаданные Задачник «Кванта» // Квант. — 1971. — № 2. — С. 24—36.