Текст статьи Письменный экзамен по физике // Квант. — 1970. — № 3. — С. 58—60.
Экзамен по физике проводится во многих вузах страны, но только в трёх из них, помимо устного, проводится ещё и письменный экзамен. Это делается в Московском физико-техническом институте, а также на физических факультетах Московского и Новосибирского университетов. Письменное задание содержит, как правило, 4—5 задач. На выполнение его отводится в Физико-техническом институте 5 часов, в МГУ и НГУ — 4 часа. Ниже приводятся варианты, предлагавшиеся в прошлом году поступающим в Физико-технический институт и НГУ. Варианты физического факультета МГУ будут опубликованы в следующем номере журнала.
Вариант 1 (МФТИ)
На две частицы — одну массы
$m$, летящую со скоростью$v$, другую массы$2m$, летящую со скоростью$2v$, направленной перпендикулярно$v$ (рис. 1), — в течение некоторого времени действуют одинаковые по величине и направлению силы. К моменту прекращения действия сил правая частица поворачивает и начинает двигаться в обратном направлении со скоростью$2v$, как изображено на рисунке. С какой скоростью стала двигаться вторая частица?
Рис. 1 В сосуде объёма 1,1 л находятся 100 г адсорбента и водород при температуре
$t=-193^\circ$ C$P=0{,}2$ атм.$\dfrac1{50}$ самого адсорбента. Определить давление в сосуде, если его нагрели до$t_1=31^\circ$ C,1 .$\dfrac{\text{г}}{\text{см}^3}$ Определить удельное сопротивление металла, если известно, что в каждом кубическом сантиметре его имеется
$N$ свободных электронов, а время между последовательными соударениями электрона с ионами кристаллической решётки равно$\tau$. Заряд электрона$e$, его масса$m$. Соударения электронов с ионами считать неупругими.Наблюдатель рассматривает удалённый предмет с помощью астрономической зрительной трубы (трубы Кеплера). В качестве объектива и окуляра трубы используются линзы с фокусными расстояниями
$F_1=+30$ см$F_2=+5$ см.$L_1=33$ см$L_2=34{,}5$ см.
Вариант 2 (МФТИ)
Маховик радиуса
$R=20$ см$r=2$ см.$F=8$ кГ,$N$ нужно при этом тянуть маховик вдоль оси, чтобы снять его?
Рис. 2 Манометр состоит из трёх стеклянных трубок (рис. 3). В нижней части манометра находится ртуть, а в левом колене над ртутью — масло. Насколько изменилось давление
$P$, контролируемое манометром, если уровень масла в тонкой открытой трубке поднялся на$\Delta h=10$ мм?$\dfrac{\rho_1}{\rho_2}=14$, а отношения сечений трубок$\dfrac{S_3}{S_2}=2$, $\dfrac{S_2}{S_1}=50$. 
Рис. 3 Плоский конденсатор с горизонтально расположенными пластинами подсоединён к батарее с ЭДС
$U$ и помещён в сосуд, который постепенно заполняется керосином($\eps=2$). Запишите в виде формулы и изобразите на графике зависимость напряжённости поля в центре конденсатора от толщины слоя керосина внутри него. Расстояние между пластинками конденсатора$d$. Расстояние между предметом и его прямым и увеличенным в два раза изображением, полученным с помощью тонкой линзы, равно
$L$. Найти оптическую силу линзы и выяснить характер изображения (действительное или мнимое).
Вариант 3 (НГУ)
Квадратная сетка из однородной проволоки состоит из четырёх одинаковых квадратных ячеек (рис. 4). Сопротивление одной стороны ячейки
$r$. Ток входит в один из углов сетки и выходит из противоположного угла. Найти сопротивление всей сетки.
Рис. 4 Между поршнем и дном цилиндрического сосуда, заполненного воздухом, закреплена перегородка с отверстием, закрытым пробкой (рис. 5). Давление справа от перегородки
$P_0$. Массы воздуха с обеих сторон от перегородки одинаковы. При движении поршня пробка вылетела при перепаде давления$\Delta P$. В этот момент поршень остановили. Найти установившееся в сосуде давление. Во время всего процесса температура не менялась.
Рис. 5 По гладкому столу движутся массы
$m_1$ и$m_2$, скреплённые невесомой нерастяжимой нитью длины$l$. В некоторый момент скорость массы$m_1$ равна нулю, а скорость массы$m_2$ равна$v$ и перпендикулярна нити. Найти натяжение нити.Внутри заряженной сферы, радиус которой
$b$, а заряд$q$, находится заземлённая проводящая сфера радиуса$a\lt b$ (рис. 6). Центры сфер совпадают. Найти напряжённость электрического поля вне большой сферы на расстоянии$r$ от центра.
Рис. 6
Вариант 4 (НГУ)
Два одинаковых шарика соединены невесомым стержнем длины
$l_0$. Система расположена на горизонтальной плоскости и приведена во вращение. Начальная скорость каждого из шариков$v_0$, коэффициент трения о плоскость$k$, ускорение силы тяжести$g$. Сколько оборотов сделает система до остановки?Какую работу надо совершить, чтобы ионизовать атом водорода, то есть угнать электрон
($e=1{,}6\cdot10^{-19}$ Кл${}=4{,}8\cdot10^{-10}$ ед. СГСЭ)$d\cong10^{-8}$ см.(1 эВ диэлектрическая проницаемость вакуума в системе СИ${}=1{,}6\cdot10^{-19}$ Дж,$\eps_0=8{,}8\cdot10^{-12}$ $\dfrac{\text{Ф}}{\text{м}}\Big)$. В блюдце налито
$P$ граммов воды, а сверху поставлен перевёрнутый вверх дном разогретый стакан с тонкими стенками. До какой наименьшей температуры$T_1$ К$T_0$ К$p_0$, площадь сечения стакана$S$, высота$l$, плотность воды$\rho$. Объём воды меньше объёма стакана. Испарением, поверхностным натяжением и расширением самого стакана пренебречь.
Рис. 7 Горизонтальный стержень веса
$P$ и длины$l$ скользит без трения по двум вертикальным стержням, соединённым внизу конденсатором ёмкости$C$ (рис. 8). Однородное магнитное поле$H$ перпендикулярно плоскости падения стержня. Найти ускорение стержня, пренебрегая электрическим сопротивлением образованной цепи.
Рис. 8
Ответы, указания, решения
Вариант 1
$2{,}5v$. Использовать второй закон Ньютона в форме$\Delta(mv)=F\,\Delta t$. $P_1=\dfrac{1}{50}m_{\text{ад}}\dfrac{RT_1}{\mu(V-V_{\text{ад}})}+P\dfrac{T_1}{T}\approx25{,}35$ атм.$T$ и$T_1$ — абсолютные температуры газа. Задачу удобно решать, используя уравнение Менделеева—Клапейрона:$PV=\dfrac m\mu RT$. $\rho=\dfrac{2m}{Ne^2\tau}$. Ток через образец равен$i=NeSv$, где$S$ — сечение образца, а$v$ — средняя скорость электронов. За время от 0 до$\tau$ в поле$E$ скорость электронов изменяется от 0 до величины$\dfrac{eE}m\tau$. Средняя скорость равна$\dfrac12\dfrac{eE}m\tau$. $x_{\text{max}}=\dfrac{F_2(L_1-F_1)}{F_1+F_2-L_1}=45$ см,$x_{\text{min}}=\dfrac{F_2(L_2-F_1)}{F_1+F_2-L_2}=7{,}5$ см.
Вариант 2
$N=\sqrt{F^2_{\text{тр}}-F^2\dfrac{R^2}{r^2}}=60$ кГ.$N$ и силы$F_1=F\dfrac Rr$, направленной по касательной к оси.$\Delta P=\Delta h{\left[\left(1-\dfrac{S_2}{S_1}\right)\dfrac{\rho_2}{\rho_1}+\dfrac{S_1}{S_2}+\dfrac{S_1}{S_3}\right]}=1$ мм рт. ст.$\Delta x_1=\Delta h-\Delta h\dfrac{S_1}{S_2}$, а ртути$\Delta x_2=\Delta h\dfrac{S_1}{S_2}+\Delta h\dfrac{S_1}{S_3}$. $E=\dfrac{\eps U}{\eps(d-x)+x}$ при$x\le\dfrac{d}{2}$ и$E=\dfrac{U}{\eps(d-x)+x}$ при$x\ge\dfrac{d}{2}$ ($x$ — толщина слоя керосина). График зависимости$E=E(x)$ показан на рисунке. Систему можно рассматривать, например, как два последовательно соединённых конденсатора.
Изображение мнимое,
$D=\dfrac{1}{2L}$.
Вариант 3
$\dfrac32r$. Углы и центр сетки эквипотенциальны. Поэтому их можно соединить проводником без сопротивления, не меняя распределения тока в цепи и, следовательно, не меняя сопротивления цепи.$P=\dfrac{2P_0(P_0\pm\Delta P)}{2P_0\pm\Delta P}$. Можно воспользоваться законом Дальтона (давление в сосуде равно сумме парциальных давлений газов, заполнявших части сосуда) и законом Бойля—Мариотта. Знак$\pm$ соответствует вдвиганию или выдвиганию поршня.$\dfrac{m_1m_2v^2}{(m_1+m_2)l}$. Система вращается вокруг её центра масс, который находится на расстоянии$x=l\dfrac{m_2}{m_1+m_2}$ от шарика с массой$m_1$. Поэтому задачу удобнее всего решать в системе координат, связанной с центром масс. Центростремительное ускорение шарикам сообщает сила натяжения нити.$E=\dfrac{q}{r^2}\left(1-\dfrac{a}{b}\right)$. Заряд внутренней сферы можно найти из условия равенства нулю потенциала этой сферы (то есть работы, затрачиваемой на перенесение единичного положительного заряда из бесконечности на сферу):$\dfrac{q_1}{a}+\dfrac{q}{b}=0$.
Вариант 4
$\dfrac{v_0^2}{2\pi l_0gk}$. Работа силы трения$2F_{\text{тр}}\cdot2\pi R\cdot n$ равна начальной кинетической энергии системы$2\dfrac{mv_0^2}{2}$. $A=\dfrac{e^2}{d}\approx14$ эВ.$T_1=\dfrac{T_0}{\left(1-\dfrac{P}{p_0S}\right)\left(1-\dfrac{P}{\rho gls}\right)}$. $a=\dfrac{mg}{m+H^2l^2C}$. ЭДС индукции, возникающая в стержне,$E=Hlv$. Заряд конденсатора$Q=EC=CHlv$, поэтому ток в цепи$I=\dfrac{\Delta Q}{\Delta t}=HlCa$ ($a$ — ускорение стержня). Магнитное поле действует на этот ток с силой$F =IHl=H^2l^2aC$. Теперь нужно записать уравнение движения стержня$mg-F=ma$ и решить его относительно$a$.