«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Внутри куба расположен выпуклый многогранник, проекция которого на каждую из граней совпадает с этой гранью. Докажите, что объём многогранника не меньше 1/3 объёма куба.
Для любого ли числа $x \ge1 $ верно равенство $$ \left[\sqrt{\left[\sqrt{x}\right]}\right]=\left[ \sqrt{\sqrt{x}}\right]? $$ (Здесь через $[y]$ обозначена целая часть числа $y$.)
$M$ — множество точек на плоскости. Точка $O$ плоскости называется «почти центром симметрии» множества $M$, если из $M$ можно выбросить одну точку такую, что для оставшегося множества $O$ является центром симметрии в…
По плоскости ползут несколько черепах, скорости которых равны по величине, но различны по направлениям. Докажите, что, как бы черепахи ни были расположены вначале, через некоторое время они будут находиться в вершинах выпуклого многоугольника.
Точка внутри правильного $2n$-угольника соединена с вершинами. Возникшие $2n$ треугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных
Докажите, что
расположены $n$ точек. Докажите, что сумма квадратов попарных расстояний между ними не больше $n^2$.
Решите в натуральных числах уравнения
Даны отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ одинаковой длины (точка $B$ лежит внутри угла $AOC$). На них как на диаметрах построены окружности. Докажите, что площадь криволинейного треугольника, ограниченного дугами этих окружностей и не…
Пусть $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$ и $CD$ четырёхугольника $ABCD$, $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$. Докажите, что если прямые $MN$ и…
Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, а длины его сторон — целые числа. Докажите, что эти числа — 3, 4 и 5.
На плоскости даны 6 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Проводятся все 15 прямых, соединяющих попарно эти точки. Каково наибольшее число точек (отличных от данных), в которых пересекаются три из этих 15 прямых?
На сфере радиуса 1 проведена:
Докажите, что найдётся плоскость, проходящая через центр сферы, не пересекающая…
Текст задачи готовится
Из одной точки $O$ на плоскости проведено $n$ векторов единичной длины. Докажите, что если для некоторого $k\lt\dfrac{n}{2}$ по обе стороны от каждой прямой, проходящей через $O$, лежит не менее $k$ векторов, то длина суммы всех…
Через одну точку внутри треугольника площади $S$ проведены три прямые так, что каждую сторону треугольника пересекает две из них (см. рисунок). Докажите, что для площадей $S_1$, $S_2$, $S_3$ трёх образовавшихся при этом треугольников…
Постройте треугольник по двум сторонам так, чтобы медиана, проведённая к третьей стороне, делила угол треугольника в отношении $1:2$.
Внутри треугольника $ABC$ взята произвольная точка $X$. Прямые $AX$, $BX$, $CX$ пересекают стороны $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$.…