Мазов Р. А. / Авторы задач / Задачи // Архив журнала «Квант»

Задачи по математике‍‍

Задача М671
Во вписанном четырёхугольнике одна диагональ делит вторую пополам. Докажите, что квадрат длины первой диагонали равен половине суммы квадратов длин всех сторон четырёхугольника.
Задача М734
[MISSING TEXT]
Задача М769
[MISSING TEXT]
Задача М803
Сумма двух рациональных чисел $x$‍‍ и $y$‍‍ — натуральное число, сумма обратных к ним чисел $\dfrac1x$‍‍ и $\dfrac1y$‍‍ — тоже натуральное число. Какими могут быть $x$‍‍ и $y$‍?‍
Задача М920
1. Найдите хотя бы одно решение уравнения $$ x^3+y^3+z^3=x^2y^2z^2 $$ в натуральных числах.
2. Докажите, что уравнение $$ x^3+y^3+z^3=nx^2y^2z^2 $$ имеет натуральное решение лишь при $n=1$‍‍ и $n=3$‍‍ и найдите все…