«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
$p$ — простое нечётное число. Дано $p-1$ целых чисел, не делящихся на $p$. Докажите, что, заменив некоторые из этих чисел на противоположные, можно получить $p-1$ чисел, сумма которых делится на $p$.
На плоскости задано $n$ точек. Нужно разместить в этих точках $n$ прожекторов, каждый из которых освещает угол величины $360^\circ /n$ так, чтобы осветить всю плоскость. Докажите, что это возможно при любом расположении данных точек, если
а)…