«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)
Окружность радиуса 1 катится снаружи по окружности радиуса $\sqrt2$. В начальный момент времени точка касания окружностей отмечена липкой красной краской. При качении покрашенные точки той и другой окружности вновь красят точки, с которыми они соприкасаются (рис. 1). Сколько…
Написан многочлен $x^{10}+{*}x^9+{*}x^8+\ldots+{*}x^2+{*}x+1$. Двое играют в такую игру. Сначала первый заменяет любую из звёздочек некоторым числом, затем второй заменяет числом любую из оставшихся звёздочек, затем снова первый заменяет одну из звёздочек числом и т. д. (всего 9 ходов). Если у полученного…
В компании из $N$ человек у каждого ровно трое друзей.
Пусть по окружности выписано $n$ чисел $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$, каждое из которых равно $(+1)$ или $(-1)$, причём сумма $n$ попарных произведений соседних чисел равна $0$…
Последовательность натуральных чисел $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ назовём универсальной для данного $N$, если из неё можно получить вычёркиванием части членов любую последовательность из $N$ чисел, в которую каждое из…
На шахматной доске размера $99\times99$ отмечена фигура $\mathit\Phi$ (эта фигура будет разной в пунктах а), б) и в)). В каждой клетке фигуры $\mathit\Phi$ сидит жук. В какой-то момент жуки взлетели и сели снова в клетки той же фигуры $\mathit\Phi$; при этом в одну…
В некоторой стране из каждого города в любой другой можно проехать, минуя остальные города. Известна стоимость каждого такого проезда. Составлены два маршрута поездки по городам страны. В каждый из этих маршрутов каждый город входит ровно по одному разу. При составлении первого маршрута…
Даны натуральные числа $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_m$, $y_1$, $y_2$, $\ldots$, $y_n$. Суммы $x_1+x_2+\ldots+x_m$ и $y_1+y_2+\ldots+y_n$ равны между собой и меньше $mn$. Докажите, что в…
В вышедших в прошлом году в русском переводе «Избранных задачах» из журнала American Mathematical Monthly (М.: Мир, 1977) две задачи замечательного математика П. Эрдёша (№№ 138 и 139) были даны без решения. Редакция «Кванта» получила целый ряд писем, содержащих решения этих задач. Прежде чем…