«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
В треугольнике Паскаля, начало которого изображено на рисунке 1 (каждое «внутреннее» число равно сумме двух стоящих над ним), в седьмой строке встречаются подряд три числа, образующие арифметическую прогрессию.
Решите систему уравнений $$ x+\dfrac{3x-y}{x^2+y^2}=3,\quad y-\dfrac{x+3y}{x^2+y^2}=0. $$
На плоскости отмечены $2n+1$ различных точек. Занумеруем их числами 1, 2, $\ldots$, $2n+1$ и рассмотрим следующее преобразование $R$ плоскости: сначала делается симметрия относительно первой точки, затем — относительно второй и т. д. — до…
Функция $f$ такова, что для всех действительных $x$ $$ f(x+1)+f(x-1)=\sqrt2\,f(x). $$ Докажите, что $f$ — периодическая функция.
На клетчатой бумаге (сторона клетки 1) нарисован $n$-угольник, все стороны которого лежат на линиях сетки и имеют нечётную длину.
Фиксируем $k\in \N$.
На хорде $AB$ окружности с центром $O$ берётся произвольная точка $M$. Через точки $A$, $M$ и $O$ проводится окружность, пересекающая первую окружность в точках $A$ и $C$.…
Возрастающая последовательность натуральных чисел $(a_n)$ такова, что $a_{n+1}\le 10a_n$. Докажите, что если все числа $a_n$ записать рядом (без пробелов и запятых), то полученная последовательность цифр не будет периодической.