«Квант» — научно-популярный физико-математический журнал (издаётся с 1970 года)Старый сайт журнала: kvant.ras.ru
Две равные окружности касаются друг друга. Постройте трапецию такую, что каждая из окружностей касается трёх её сторон, а центры окружностей лежат на диагоналях трапеции.
Найдите все целые числа $n\gt1$ такие, что $\dfrac{2^n+1}{n^2}$ — целое число.
На плоскости расположено 1991 красных, чёрных и жёлтых точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Некоторые пары точек соединены отрезками, причём из каждой точки выходит одинаковое число отрезков. Докажите, что найдётся красная точка, которая соединена и с чёрной, и с жёлтой…
Пусть $d_1$, $d_2$, $d_3$ — попарные разности длин сторон треугольника (по абсолютной величине), $P$ — его периметр. Докажите неравенство $$ d_1d_2+d_2d_3+d_3d_1\le\dfrac{P^2}{4}. $$
Внутри окружности лежит ещё две окружности, касающиеся внешней окружности в точках $A$ и $B$ соответственно и пересекающиеся между собой. Докажите, что если одна из точек пересечения лежит на отрезке $AB$, то сумма радиусов меньших окружностей равна…
На бесконечном белом листе клетчатой бумаги квадрат $2\times2$ клетки нужно закрасить в чёрный цвет. Можно ли это сделать несколькими операциями, каждая из которых — перекрашивание в противоположный цвет всех клеток в квадрате $3\times3$ или $4\times4$ клетки?
Внутри круга радиусом 1990 с центром в начале координат отмечено 555 точек с целыми координатами, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся два треугольника равной площади с вершинами в этих точках.
Пусть $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$ — некоторая перестановка из чисел 1, 2, $\ldots$, $n$; $r_k$ — остаток от деления числа $a_1+a_2+\ldots+a_n$ на $n$ ($k=1$, 2, $\ldots$,…
Внутри треугольника $ABC$ взята произвольная точка $X$. Прямые $AX$, $BX$, $CX$ пересекают стороны $BC$, $CA$ и $AB$ в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$.…