Задача М996‍‍

Если центры квадратов совпадают, утверждение задачи очевидно. Это расположение всегда можно получить, сдвинув параллельно один из квадратов, поэтому достаточно доказать, что при параллельном переносе, скажем, красного квадрата сумма красных сторон восьмиугольника-пересечения не меняется. При этом можно ограничиться сдвигом вдоль одной из сторон этого квадрата, так как любой параллельный перенос можно заменить двумя такими сдвигами (вдоль перпендикулярных сторон).

Итак, сдвинем красный квадрат вдоль одной из его сторон (рис. 1). Тогда две стороны восьмиугольника (параллельные направлению сдвига) не изменятся; третья сторона уменьшится на величину, равную гипотенузе прямоугольного треугольника, показанного на рисунке 1 штриховкой, а четвёртая сторона увеличится на такую же величину (заштрихованные треугольники, очевидно, имеют одинаковые углы и одинаковые высоты, опущенные на гипотенузу, и следовательно, равны). Таким образом, сумма всех 4 красных сторон не меняется, что и требовалось доказать.

Рисунок номер 1

Приведём ещё одно решение. Рассмотрим прямоугольные треугольники, отсекаемые от каждого из квадратов сторонами другого квадрата, и проведём в них высоты из вершин прямых углов. Все эти треугольники подобны между собой, поэтому достаточно доказать, что сумма красных высот (см. рис. 2) равна сумме синих высот. Для доказательства надо только заметить, что сумма площадей 4 красных треугольников (рис. 3, а) равна сумме площадей синих треугольников (рис. З, б), поскольку каждая из этих сумм равна разности площади выпуклого восьмиугольника, вершинами которого являются вершины данных квадратов, и площади квадрата, и что эти суммы равны произведениям полупериметра квадрата на суммы красных и синих высот.

Рисунок номер 2 Рисунок номер 3а Рисунок номер 3б

Аналогичное рассуждение о площадях упомянутых выше прямоугольных треугольников, отсекаемых квадратами друг от друга, показывает, что и сумма квадратов длин красных сторон восьмиугольника равна сумме квадратов длин синих сторон.