Пусть $L$ — точка пересечения диагонали $BD$ с окружностью $DQK$. Докажем, что эта точка лежит и на второй окружности — $BPK$. Для определённости предположим, что точки $K$ и $Q$ лежат по разные стороны от $BD$, а $P$ и $K$ — по одну сторону (см. рисунок). Тогда, поскольку углы $DQK$ и $DLK$ вписаны в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу $DK$,
$$
\angle BPK=\angle PQD=\angle KLD=180^\circ-\angle KLB,
$$
т. е. четырёхугольник $PKLB$ вписан в окружность.
Приведём ещё одно решение, использующее поворот. Пусть $M$ и $N$ — точки пересечения окружностей $KQD$ и $KPB$ с прямыми $AD$ и $BC$ соответственно (см. рисунок). Ясно, что $\angle MKQ=\angle PKN=90^\circ$, т. е. отрезок $MN$ перпендикулярен $PQ$ и проходит через точку $K$. Рассмотрим поворот на $90^\circ$, который переводит точку $Q$ в $M$ (а луч $QC$ — в луч $MD$). Легко видеть, что при этом повороте прямая $QP$ перейдёт в $MN$, а прямая $AB$ — в $BC$. Следовательно, точка $P$ перейдёт в $N$. Поскольку отрезки $QM$ и $PN$ видны из центра поворота под прямыми углами, этот центр лежит на пересечении данных окружностей. С другой стороны, он равноудалён от прямых $AB$ и $BC$ (так как первая из них переходит во вторую) и, следовательно, лежит на диагонали $BD$.
