На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ построены во внешнюю сторону квадраты $ABB_1A_2$, $BCB_1C_2$, $CAA_1C_2$. Докажите, что перпендикуляры к отрезкам $A_1A_2$, $B_1B_2$, $C_1C_2$, восстановленные в их серединах, пересекаются в одной точке.
Мы докажем, что рассматриваемые в задаче перпендикуляры содержат медианы некоторого треугольника, гомотетичного данному треугольнику $ABC$. Утверждение задачи следует тогда из того, что медианы любого треугольника пересекаются в одной точке.
Проведём через центры квадратов прямые, параллельные сторонам треугольника $ABC$ (см. рис. 1); они ограничивают гомотетичный ему треугольник $A_0B_0C_0$. Поскольку прямые $A_0B_0$ и $A_0C_0$ — серединные перпендикуляры к отрезкам $AA_2$ и $AA_1$, точка $A_0$ их пересечения — это центр описанной окружности треугольника $AA_1A_2$ и, следовательно, лежит на серединном перпендикуляре $p_a$ к отрезку $A_1A_2$. Аналогично серединные перпендикуляры $p_b$ и $p_c$ к отрезкам $B_1B_2$ и $C_1C_2$ проходят через точки $B_0$ и $C_0$ соответственно.
Рис. 1Рис. 2
Остаётся доказать, что прямые $p_a$, $p_b$, $p_c$ содержат медианы треугольника $A_0B_0C_0$. Для этого достаточно проверить, что они параллельны медианам треугольника $ABC$; например, что прямая $p_a$ параллельна медиане $AM$, или что $AM\perp A_1A_2$.
Повернём треугольник $ABC$ на $90^\circ$ вокруг точки $A$ так, чтобы вершина $B$ перешла в $A_2$ (рис. 2). Пусть точки $M$ и $C$ перейдут при этом в $M'$ и $C'$; тогда $M'$ — середина $A_2C'$, а $A_1$ — середина $A_1C'$ ($A_1A=AC=AC'$, $\angle A_1AC=\angle CAC'=90^\circ$). Поэтому $AM'$ — средняя линия треугольника $A_1C'A_2$, т. е. $AM'\parallel A_1A_2$; в то же время $AM\perp AM'$.
Другое решение можно получить из следующего соображения: пусть $O$ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$; если параллельно перенести отрезки $A_1A_2$, $B_1B_2$ и $C_1C_2$ на векторы $\overrightarrow{AO}$, $\overrightarrow{BO}$ и $\overrightarrow{CO}$ соответственно, то эти отрезки сомкнутся в треугольник, причём прямые $p_a$, $p_b$ и $p_c$ будут его серединными перпендикулярами.
