с вершинами $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$ взята точка $O$. Докажите, что среди $\dfrac{n(n-1)}{2}$ углов $A_i O A_k$ ($i$, $k=1$, 2, $\ldots$, $n$) не менее, чем $n-1$ имеют величину от $90^\circ$ до $180^\circ$.
а) Разобьём данный выпуклый многоугольник на треугольники с вершинами в точках $A_1$, $\ldots$, $A_n$ (для этого достаточно провести все диагонали из вершины $A_1$). Точка $O$ попадёт в один из этих треугольников (возможно, на границу); пусть это будет $A_1A_2A_3$ (рис. 1). Для любой из вершин $A_i$, $i=1$, 2, $\ldots$, $n$, по крайней мере один из углов $A_1OA_i$, $A_2OA_i$ и $A_3OA_i$ будет неострым. Действительно: иначе все три вершины нашего треугольника оказались бы по одну сторону от перпендикуляра к $OA_i$, проведённого через точку $O$ (причём внутри ограниченной им полуплоскости; рис. 2), а это означало бы, что точка $O$ лежит вне треугольника. Таким образом, мы получим по одному неострому углу для каждой из $n-3$ вершин $A_4$, $A_5$, $\ldots$, $A_n$; ещё два неострых угла можно выбрать из трёх углов $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_1$ (если, скажем, угол $A_1OA_2$ острый, то углы $A_1OA_3$ и $A_2OA_3$ — неострые). Всего получится $n-3+2=n-1$ неострых углов.
Рис. 1Рис. 2
б) Решение этой части задачи аналогично решению задачи а). Сначала разобьём данный многогранник на тетраэдры с вершинами в точках $A_1$, $\ldots$, $A_n$. Для этого разобьём все грани, не содержащие вершину $A_1$, на треугольники, как в пункте а) (треугольные грани дополнительно разбивать, конечно, не нужно), и возьмём в качестве тетраэдров искомого разбиения те тетраэдры, у которых общей вершиной является точка $A_1$, основаниями которого являются все эти треугольники. Допустим, что точка $O$ попала в тетраэдр $A_1A_2A_3A_4$. Так же как и в пункте а), доказывается, что хотя бы один из четырёх углов, образуемых лучом $OA_i$, $i=1$, 2, $\ldots$, $n$, с лучами $OA_1$, $OA_2$, $OA_3$ и $OA_4$, будет неострым. Полагая $i=5$, 6, $\ldots$, $n$, получим $n-4$ неострых угла. Для $i=1$ получим ещё один такой угол, скажем, $A_1OA_2$. Если угол $A_3OA_4$ острый, то для $i=3$ и $i=4$ получим ещё по два неострых угла, а всего $n-4+3=n-1$. Остаётся доказать, что среди углов $A_1OA_3$, $A_3OA_2$, $A_2OA_4$ и $A_4OA_1$ есть ещё хотя бы один неострый, что даёт требуемое число неострых углов.
Рис. 3
Допустим, что это не так, тогда сумма этих четырёх углов меньше $360^\circ$, и точка $O$ лежала бы внутри тетраэдра $A_1A_2A_3A_4$. Обозначим через $B$ точку пересечения плоскости $A_1OA_3$ с ребром $A_2A_4$. Воспользуемся тем (рис. 3), что сумма двух плоских углов трёхгранного угла больше третьего плоского угла (см., например, статью Б. М. Ивлева «Двугранные и трёхгранные углы» в «Кванте» № 12 за 1984 г.):
$$
\begin{gather*}
360^\circ\gt\angle A_1OA_3+\angle A_3OA_2+\angle A_2OA_4+\angle A_4OA_1=\\
=\angle A_1OA_3+(\angle A_3OA_2+\angle A_2OB)+(\angle BOA_4+\angle A_4OA_1)\gt\\
\gt\angle A_1OA_3+\angle A_3OB+\angle BOA_1=360^\circ.
\end{gather*}
$$
Полученное противоречие завершает доказательство.
