В треугольник вписан прямоугольник со сторонами $a$ и $b$ так, что все его вершины лежат на сторонах треугольника. Пусть $a_1$ и $b_1$ — длины проекций треугольника на прямые, параллельные сторонам $a$ и $b$ прямоугольника. Докажите равенство
$$
\dfrac a{a_1}+\dfrac b{b_1}=1.
$$
В произвольный тетраэдр вписан прямоугольный параллелепипед с рёбрами $a$, $b$ и $c$ так, что все его вершины лежат на поверхности тетраэдра. Пусть $a_1$, $b_1$ и $c_1$ — длины проекций тетраэдра на прямые, параллельные рёбрам $a$, $b$ и $c$. Докажите равенство
$$
\dfrac a{a_1}+\dfrac b{b_1}+\dfrac c{c_1}=1.
$$
а) Очевидно, на одной из сторон треугольника должны лежать две соседние вершины прямоугольника, а на двух других сторонах — ещё по вершине (рис. 1). В обозначениях рисунка 1 из гомотетичности треугольников $ABC$ и $NMC$, $ACD$ и $ANK$ получаем
$$
\dfrac{a}{a_1}+\dfrac{b}{b1}=\dfrac{NM}{AB}+\dfrac{KN}{DC}=\dfrac{NC}{AC}+\dfrac{AN}{AC}=1.
$$
Рис. 1
Поясним подробнее равенство $a_1=AB$, имея в виду, что в задаче б) аналогичные утверждения не столь очевидны. Проекция точки $C$ на прямую $AB$ лежит на отрезке $AB$ (иначе одна из точек $K$ и $L$ — проекций $N$ и $V$ на $AB$ — должна была бы лежать вне этого отрезка); следовательно, проекция треугольника на прямую $KL=AB$ совпадает с его стороной $AB$.
б) Ясно, что на одной грани тетраэдра может лежать либо целая грань параллелепипеда, либо одно его ребро, либо одна вершина, либо вовсе ни одной (впрочем, последнее, как мы увидим далее, невозможно). Рассмотрим два случая.
Рис. 2. Показанные здесь три возможных случая рассматриваются совершенно одинаково.
1) Пусть какая-то грань $KLMN$ параллелепилпеда лежит на грани $ABC$ данного тетраэдра $ABCD$. Тогда параллельная грань $K'L'M'N'$ вписана в сечение $A'B'C'$ тетраэдра плоскостью этой грани (рис. 2). Пусть $KL=a$, $KN=b$, $KK'=c$. Поскольку проекция $E$ вершины $D$ на плоскость $ABC$ лежит в треугольнике $ABC$ (иначе одна из точек $K$, $M$, $N$ должна была бы лежать вне его), проекции $a_1$ и $b_1$ тетраэдра на прямые $KL$ и $KN$ совпадают с проекциями грани $ABC$ на эти прямые. Проекция же $c_1$, тетраэдра на прямую $KK'$, очевидно, равна его высоте $DE$. Треугольник $A'B'C'$ гомотетичен треугольнику $ABC$ с центром $D$ и коэффициентом $k=\dfrac{DE'}{DE}=\dfrac{c_1-c}{c_1}=1-\dfrac{c}{c_1}$, ($E'$ — точка пересечения $DE$ и плоскости $A'B'C'$), следовательно, проекции треугольника $A'B'C'$ на $K'L'$ и $K'N'$ равны $ka_1$, и $kb_1$, и в силу задачи а)
$$
\dfrac{a}{a_1}+\dfrac{b}{b_1}+\dfrac{c}{c_1}=
k\left(\dfrac a{ka_1}+\dfrac b{kb_1}\right)+\dfrac{c}{c_1}=k+\dfrac c{c_1}=1.
$$
2) Пусть ни одна из граней параллелепипеда не лежит целиком в грани тетраэдра. Тогда на каждой грани тетраэдра должно лежать по две вершины параллелепипеда, т. е. по одному ребру. Легко понять, что среди этих четырёх рёбер два, скажем $KL$ и $MN$, обязательно лежат в одной грани параллелепипеда и параллельны, а два других — $K'N'$ и $L'M'$ — в противоположной грани и перпендикулярны первым двум. Поэтому общее ребро АВ граней тетраэдра, содержащих отрезки $KL$ и $MN$, параллельно им, а противоположное ребро тетраэдра $CD$ параллельно $K'N'$ и $L'M'$ (и перпендикулярно $AB$; рис. 3).
Рис. 3Рис. 4
Пусть $EF$ — общий перпендикуляр прямых $AB$ и $CD$, $P$ и $Q$ — точки его пересечения с плоскостями $KLM$ и $K'L'M'$. Проекция $c_1$ тетраэдра на $KK'$, очевидно, равна $EF$, а его проекции $a_1$ и $b_1$ нa прямые $AB$ и $CD$ (которые параллельны $KL$ и $KN$) совпадают с проекциями треугольника $ABF$ на $AB$ и $CDE$ на $CD$. Рассмотрим проекции наших многогранников на плоскости $ABF$ (рис. 4, а) и $CDE$ (рис. 4, б). Рассуждая так же, как в конце пункта а), убеждаемся, что точка $E$ лежит между $A$ и $B$, а $F$ — между $C$ и $D$. Следовательно, $a_1=AB$, $b_1=CD$. Теперь, пользуясь гомотетичностью треугольников на рисунках 4, а и 4, б, получаем
$$
\dfrac a{a_1}+\dfrac b{b_1}+\dfrac c{c_1}=\dfrac{FQ}{FE}+\dfrac{PE}{FE}+\dfrac{PQ}{FE}=1.
$$
Утверждение задачи справедливо и для произвольного параллелепипеда, вписанного в тетраэдр, если под $a_1$, $b_1$, $c_1$ понимать длины параллельных проекций тетраэдра на рёбра $a$, $b$, $c$ параллелепипеда вдоль плоскостей соответствующих граней параллелепипеда.
