Задача М946‍‍

Выберем прямоугольную систему координат $Oxy$‍‍ так, чтобы оси парабол были координатными осями (см. рисунок).

Тогда уравнение одной из парабол $x=ay^2+b$‍‍ ($a\gt0$‍,‍ $b\lt0$‍),‍ другой $y=cx^2+d$‍‍ ($c\gt0$‍,‍ $d\lt0$‍).‍ Координаты $(x;y)$‍‍ точек пересечения парабол удовлетворяют системе уравнений $x=ay^2+b$‍,‍ $y=cx^2+d$‍.‍ Разделив первое уравнение на $a$‍,‍ второе — на $c$‍‍ и сложив получившиеся уравнения, приходим после очевидных преобразований к уравнению $$ \left(x-\dfrac1{2a}\right)^2+\left(y-\dfrac1{2c}\right)^2 =\dfrac1{4a^2}+\dfrac1{4c^2}-\dfrac ba-\dfrac dc. $$ Поскольку его правая часть положительна, отсюда следует, что точки пересечения парабол лежат на окружности радиуса $R=\sqrt{\dfrac1{4a^2}+\dfrac1{4c^2}-\dfrac ba-\dfrac dc}$‍‍ с центром в точке $Z\left(\dfrac1{2a};\dfrac1{2c}\right)$‍.‍