Условие задачи (1985, № 9) Задача М944 // Квант. — 1985. — № 9. — Стр. 36—37; 1986. — № 1. — Стр. 37—38.
Правильный шестиугольник разбит на 24 равных треугольника, как на рисунке 2. Во всех 19 узлах образовавшейся фигуры записаны различные числа. Докажите, что среди 24 треугольников разбиения имеется по крайней мере 7 таких, в вершинах которых тройки чисел записаны в порядке возрастания против часовой стрелки.
Изображения страниц
Решение задачи (1986, № 1) Задача М944 // Квант. — 1985. — № 9. — Стр. 36—37; 1986. — № 1. — Стр. 37—38.
От каждой из сторон треугольников проведём стрелку, направленную влево от стороны, если двигаться по ней от вершины с меньшим числом к вершине с бо́льшим числом (рис. 2). Если числа, записанные в вершинах некоторого треугольника, возрастают при обходе вершин против часовой стрелки, то внутри этого треугольника находятся ровно две стрелки; если по часовой — то ровно одна (рис. 3). Пусть треугольников первого типа —
Стрелки, отвечающие 30 внутренним отрезкам разбиения, заведомо лежат внутри шестиугольника. Из 12 остальных стрелок, расположенных по контуру шестиугольника, хотя бы одна должна быть направлена внутрь. (В противном случае, обходя границу шестиугольника по часовой стрелке, мы каждый раз встречали бы всё большее число.) Итак,