Доказательство проведём от противного. Пусть последовательность имеет период $T=2^p\cdot q$, где $q$ нечётно. Если $q=4m+3$, то при $k\ge p+2$
$$
\begin{gathered}
a_{2^k}=a_{2^k+T}=a_{2^p(2^{k-p}+q)}=a_{2^{p-1}(2^{k-p}+q)}=\ldots\\
\ldots=a_{2^{k-p}+4m+3}=a_{4(2^{k-p-2}+m)+3}=0,
\end{gathered}
$$
но в то же время
$$
a_{2^k}=a_{2^{k-1}}=\ldots=a_1=1.
$$
Противоречие.
Если же $q=4m+1$, то в проведённом рассуждении число $T$ надо заменить на число $3T=2^p(4\cdot 3m+3)$, которое также должно быть периодом нашей последовательности.
С последовательностью $(a_n)$ связана замечательная бесконечная ломаная $A_0A_1A_2\ldots$ с равными звеньями, каждое из которых (начиная с $A_1A_2$) составляет угол $90^\circ$ с предыдущим, причём в вершине $A_n$ ($n\ge 1$) ломаная поворачивает налево, если $a_n=1$, и направо, если $a_n=0$. Эта ломаная называется «главной ломаной дракона» (см. статью Н. Б. Васильева и В. Л. Гутенмахера «Кривые дракона» в «Кванте» № 2 за 1970 г.).
