Заметим, что из двух чисел $a_k$ и $b_k$ одно всегда не превосходит $n$,
а другое — больше $n$. Действительно, если, например, $a_k\le n$ и $b_k\le n$, то и все числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_k$ и $b_k$, $b_{k+1}$,
$\ldots$, $b_n$ не превосходят $n$. Всего мы получаем $k+(n-k+1)=n+1$
различных натуральных чисел, не превосходящих $n$, что невозможно.
Аналогично доказывается, что оба числа $a_k$ и $b_k$ не могут быть больше
$n$.
Таким образом, каждое из слагаемых $|a_k-b_k|$ в нашей сумме равно
разности числа, большего $n$, и числа, не превосходящего $n$. Раскрывая
модули и переставив слагаемые, получим
$$
\begin{gather*}
|a_1-b_1|+|a_2-b_2|+\ldots+|a_n-b_n|=\\
=(n+1)+(n+2)+\ldots+(n+n)-(1+2+\ldots+n)=n^2.
\end{gather*}
$$
