Будем называть прямоугольники (в пункте б) — параллелепипеды), на которые разбит квадрат (куб), «кирпичами», а сам квадрат (соответственно, куб) — «домом». Удобно считать, что «дом» — произвольный прямоугольник (прямоугольный параллелепипед).
Оба утверждения а) и б) можно доказывать примерно одинаково — индукцией по числу $n$ кирпичей, составляющих дом. Мы подробно изложим доказательство а), а затем укажем дополнительные соображения, которые нужны в пункте б).
Для $n\le2$ кирпичей утверждение очевидно. Предположим, что для числа кирпичей, меньшего $n$, оно доказано. Пусть $\alpha$ и $\beta$ — два из $n$ кирпичей, составляющих дом, которые мы хотим соединить цепочкой. Будем говорить, что цепочка идёт «вдоль стороны $a$», если проекции составляющих её кирпичей на $a$ покрывают $a$ в один слой. Заметим, что достаточно построить часть цепочки между $\alpha$ и $\beta$, идущей вдоль $a$ (указать кирпичи, проекции которых на $a$ заполняют в один слой отрезок между проекциями кирпичей $\alpha$ и $\beta$), — после этого её легко дополнить до целой цепочки: для этого достаточно дойти от $\alpha$ и $\beta$ по направлению $a$ до перпендикулярных к $a$ сторон и включить в цепочку встретившиеся при этом кирпичи (рис. 1).
Рисунок 1
Случай, когда кирпичи $\alpha$ и $\beta$ можно пересечь одной прямой, параллельной стороне дома, очевиден: все кирпичи, пересекаемые такой прямой, образуют нужную цепочку. Поэтому можно считать, что для каждой стороны дома найдётся прямая, разделяющая кирпичи $\alpha$ и $\beta$. В этом случае найдётся вершина кирпича $\alpha$, ближайшая к $\beta$, — обозначим её $A$. Среди примыкающих к ней кирпичей найдётся, кроме $\alpha$, ещё по крайней мере один кирпич $\gamma$, для которого $A$ служит вершиной и который примыкает к $\alpha$ по стороне. Он отделён от $\alpha$ некоторой прямой $l$ (идущей по сторонам $\alpha$ и $\gamma$, рис. 2).
Рисунок 2
Разрезав дом вместе с кирпичами этой прямой $l$, мы получим содержащий кирпичи $\gamma$ и $\beta$, но меньший исходного (по числу кирпичей) дом. В нём, по предположению индукции, можно соединить $\gamma$ и $\beta$ цепочкой; нас интересует её часть $\gamma$, $\delta_1$, $\delta_2$, $\ldots$, $\delta$, $\beta$ от $\gamma$ до $\beta$. Если она идёт вдоль направления $l$, то можно заменить в ней $\gamma$ на $\alpha$, и нужная нам часть цепочки от $\alpha$ до $\beta$ готова: $\alpha$, $\delta_1$, $\delta_2$, $\ldots$, $\delta$, $\beta$ (мы пользуемся здесь тем, что $A$ — ближайшая к $\beta$ вершина $\alpha$, рис. 2, а). Если же цепочка $\gamma$, $\delta_1$, $\delta_2$, $\ldots$, $\delta$, $\beta$ идёт в перпендикулярном $l$ направлении, то к ней можно просто добавить $\alpha$ (рис. 2, б).
Перейдём к решению б). Здесь случай, когда кирпичи $\alpha$ и $\beta$ можно пересечь плоскостью, параллельной грани дома, сводится к пункту а). Остаётся случай, когда $\alpha$ и $\beta$ разделены тремя плоскостями, параллельными разным граням дома. Через ближайшую к $\beta$ вершину $A$ кирпича $\alpha$ проходят три плоскости его граней. Они делят пространство на 8 октантов, и каждый из примыкающих к $A$ кирпичей занимает один, два или четыре из них (в окрестности $A$). Поскольку число $8-1=7$ нечётно, среди них найдётся, кроме $\alpha$, ещё один кирпич $\gamma$, для которого $A$ служит вершиной (занимающий один октант) и который отделён от $\alpha$ некоторой плоскостью $p$.
Дальше рассуждение проводится так же, как в пункте а): плоскость отрезает меньший дом, содержащий $\gamma$ и $\beta$; остаётся рассмотреть два случая — когда существующая по предположению индукции цепочка от $\gamma$ до $\beta$ идёт в направлении, параллельном плоскости $p$ или перпендикулярном ей.
в) Это утверждение, вообще говоря, неверно. Простой пример — куб $2\times2\times2$, составленный из двух кубиков $1\times1\times1$, примыкающих к противоположным вершинам куба, и трёх параллелепипедов $2\times1\times1$ (рис. 3). Легко видеть, что кубики здесь не принадлежат одному слою.
Рисунок 3
Аналогичный пример дома $3\times3\times3$ из трёх кубиков $1\times1\times1$, расположенных по диагонали, и шести кирпичей $2\times2\times1$ легко представят себе владельцы «кубика Рубика».
