Ответ на вопрос а) положительный. Два примера изображены на рисунках: соответствующие разбиения квадрата $10\times10$ на 10 частей по 10 клеток в каждой, занумерованных цифрами 0, 1, 2, $\ldots$, 9, удовлетворяют условию задачи а). Эти примеры интересны тем, что если мысленно склеить верхнюю сторону квадрата с нижней, а левую — с правой, то все 10 областей, занятых цифрами 0, 1, $\ldots$, 9, окажутся одинаковыми — они получаются друг из друга параллельными переносами (на рисунке кусочки областей, примыкающие снаружи к границе исходного квадрата $10\times10$, показаны пунктиром).
б) Пусть цифра $k$ ($k=0$, 1, 2, $\ldots$, 8 или 9) встречается в $q_k$ столбцах и $r_k$ строках. Если предположить, что в каждом столбце встречается не более 3 разных цифр, то число разных пар (цифра $k$; номер столбца, где встречается $k$) будет не более 30, поэтому $q_0+q_1+\ldots+q_9\le30$. Аналогично, если в каждой строке не более 3 разных цифр, то $r_0+r_1+\ldots+r_9\le30$. С другой стороны, поскольку каждая цифра стоит в 10 клетках, то $q_kr_k\ge10$ и поэтому $q_k+r_k\ge2\sqrt{q_kr_k}\gt6$, так что $(q_0+r_0)+\ldots+(q_9+r_9)\ge7\cdot10=70$. Полученное противоречие показывает, что в некотором столбце или в некоторой строке должно быть не менее 4 разных цифр. Аналогично можно доказать, что если клетки таблицы $N\times N$ раскрашены в $N$ цветов так, что клеток каждого цвета ровно $N$, и $N\gt(n-1)^2$, то найдётся строка или столбец, в котором есть клетки $n$ разных цветов (в нашей задаче было $N=10$, $n=4$).
Предлагаем читателям доказать, что эта оценка точная, и подумать над возможными обобщениями этой задачи (например, для прямоугольных таблиц, на трёхмерный случай).
Рисунок 1
Рисунок 2
